Bonsoir
comment démontrer E=FG <=> (E=F+G et FG={0} ) avec F et G deux sev de E, un espace vectioriel.
merci d'avance.
Bonjour
ça dépend : la définition que tu as eue est peut être : F et G sont supplémentaires dans E ssi pour tout x de E, il existe un unique couple (f,g) de FxG tel que x = f + g ?
Bonsoir lafol
Dans ce cas il y a juste à s'attarder sur l'unicité :
On suppose que x = f + g = f' + g' <=> (f-f') = (g'-g)
Puisque ce sont des espaces vectoriels on a f-f' dans F et g'-g dans G, et puisque l'intersection est vide on a f-f' = g'-g = 0 donc f = f' et g = g' et réciproquement.
Pour le sens intersection vide ==> unicité, OK
pour la réciproque, je ne suis pas sûre de comprendre ce que tu veux dire ?
mais à mon avis il serait plus judicieux d'utiliser une autre définition comme celle que tu as proposé par exemple...
Mais cette définition ne fait pas apparaître le côté "directe" de la somme....
avec ta définition, E et n'importe lequel de ses ssev seraient supplémentaires ....
Oui désolé j'ai pas développé parce que l'autre sens est encore plus simple :
si x appartient à l'intersection de F et G, on écrit : x = x + 0 = 0 + x et par unicité de la décomposition il vient x = 0.
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