Niveau Reprise d'études

Espérance d’un produit de var

Posté par
Milka3 08-07-22 à 11:04

Bonjour,
Je travaille sur un exercice de probabilité où X suit une loi de poisson de paramètre a>0 et Y=(-1)^X.
Je dois calculer E(XY). Par définition, on a :

E(XY)=_m mP(XY=m)

Mais je ne vois pas comment poursuivre. Pouvez-vous m'aider ?
Merci d'avance !

Posté par re : Espérance d’un produit de var 08-07-22 à 11:40

La première étape, c'est de calculer P(XY=m) pour un entier m quelconque.
Que peux tu dire sur P(XY=m) ?
Dans le cas où m est un entier impair positif par exemple ?
Et dans le cas où m est un entier impair négatif ?

Posté par re : Espérance d’un produit de var 08-07-22 à 12:36

    P(XY = m) = P(Y = -1 , X = -m) + P(Y =  1 , X = m)

Or [Y = -1] =  [X   1 + 2] = { [X = 1 + 2k] │ k }
   [Y =  1] = ....

Posté par re : Espérance d’un produit de var 09-07-22 à 08:06

Merci !
Du coup, j'arrive au calcul de :
P(X=-m,Y=-1)
=P(X=-m,X=1+2k)
=P(X=-(1+2k))

Est-ce la bonne démarche ?

Posté par re : Espérance d’un produit de var 09-07-22 à 12:22

J'ai du mal à voir comment une formule $P(X=-m, Y=-1)$   , qui dépend donc de $m$
devient soudain une somme (déjà, ça c'est bizarre), et en plus où $m$ n'apparaît plus.

Tu as une somme sur   $\mathbb{Z}$ , c'est peut-être plus simple de la présenter comme une somme sur $\mathbb{N}$

Calcule  pour $k$ entier, $(2k)P(XY=2k)+ (-2k-1)P(XY=-2k-1)$
La somme cherchée , c'est une somme sur tous les entiers.
On associe à chaque fois un entier pair et l'entier suivant. On obtient un certain résultat. Et on peut ensuite faire la somme de ces résultats intermédiaires.

Posté par re : Espérance d’un produit de var 10-07-22 à 10:58

Parce ce que j'ai écris :

(X=-m,Y=-1)
=(X=-mY=-1)
=(X=-mX=2k+1)
= (X=-m X=2k+1)

Visiblement, c'est faux ?

Posté par re : Espérance d’un produit de var 10-07-22 à 10:59

ty59847 @ 09-07-2022 à 12:22

Calcule pour $k$ entier, $(2k)P(XY=2k)+ (-2k-1)P(XY=-2k-1)$
La somme cherchée , c'est une somme sur tous les entiers.
On associe à chaque fois un entier pair et l'entier suivant. On obtient un certain résultat. Et on peut ensuite faire la somme de ces résultats intermédiaires.

Ok je crois que je commence a voir. Je vais regarder dans cette direction. Merci !