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Est-ce une curiosité ?
Posté par Slpok
Bonjour, je voulais partager avec vous une curiosité que j'ai découvert récemment en m'amusant un peu avec les nombres premiers.
Soit le
ème nombre premier.
Ainsi on a :
...
Voici ce que l'on trouve quand on calcule la séquence :
Résultats jusqu'à n=13 en commençant par n=1 :
n=1 2
n=2 1.73
n=3 1.71
n=4 1.63
n=5 1.62
n=6 1.53
n=7 1.5
n=8 1.44
n=9 1.42
n=10 1.4
n=11 1.37
n=12 1.35
n=13 1.33
Hypothèse : Soit le n-ème nombre premier. Alors la séquence
est strictement décroissante.
Quelqu'un m'aide à démontrer ou à infirmer cette hypothèse ?
En effet ça fait penser au théorème des nombres premiers, mais le problème est qu'un équivalent ne donne absolument aucune information sur la monotonie d'une suite
Bonsoir,
, et la suite
est bien décroissante, mais cela ne veut rien dire quant à la décroissance de la suite
.
Bonjour,
Ca m'a l'air aussi vrai pour tous les entiers strictement supérieurs à un, pas uniquement les nombres premiers.
Non?
Bonjour,
En effet. Mais c'est plus remarquable pour les nombres premiers car ils croissent plus vite que les nombres entiers. Autrement dit, de (n^(1/n)) décroissante et tend vers 1, on ne peut rien en déduire pour (p_n^(1/n)).
Bonjour 
@BoboSalut : si tu parles de la suite , oui, elle est décroissante. Donc la suite
l'est aussi en tant que sous-suite de la précédente.
Mais là il s'agit de la suite dont on cherche la monotonie.
coa347 @ 06-05-2018 à 22:45
)
, et la suite )^{1/n}))
est bien décroissante, mais cela ne veut rien dire quant à la décroissance de la suite ^{1/n}))
.
En effet, mais une estimation assez précise donne ceci pour
Si on a
Reste à vérifier si oui ou non
Bonsoir,
D'où provient cette estimation ?
Pour montrer que (P_n) est décroissante, ce n'est pas plutôt M_(n+1) <= m_n qu'il faut montrer ?
C'est une version améliorée par Pierre Dusart du théorème de Rosser : 
(Sinon, oui, il faut inverser le sens de mon inégalité.)
salut
ce qui est dommage c'est de poser une question intéressante certes ... mais de ne pas savoir écrire de mathématiques ... d'autant plus quand on utilise le latex
écrire
a du sens
ensuite idem
n = 1 => 2 n'a aucun sens et de plus ce n'est pas le rang qui m'intéresse ...
compter les entiers c'est trivial, compter les nombres premiers c'est déjà plus chiant
donc écrire (par exemple même sans latex)
2/(1/1= = 2
3^(1/2) =1,762
5^(1/3) = ...
...
même si le signe égal est génant ça a du sens ... et au moins on a les nombres premiers
enfin maintenant avec l'informatique il est aisé de trouver une liste de nombres premiers conséquentes et vérifier avec un tableur si cette conjecture est exacte ... par exemple pour n variant de 1 à 100, ..., 200 voire même peut-être 1000
et si un tableur ne convient un programme en langage python par exemple qui permet de travailler avec des nombres "conséquents en taille" permet d'aller très loin pur voir ce qui se passe et probablement trouver un contre exemple si cette conjecture devait être fausse ...
d'ailleurs il n'est pas déraisonnable d'essayer de voir ce qui se passe avec les 1000e, 1001e et 1002e nombres premiers ...
PS : putain que c'est pénible ces coupure intempestives de connexion ... heureusement que j'ai fait un aperçu ....