Niveau Prepa (autre)

Estimateurs, EMV, fonction pivotale...

Posté par
Felhaus 26-02-20 à 16:44

Bonjour,

Je suis en pleine galère sur cet exercice, n'ayant abordé que superficiellement les estimateurs. De fait, un peu de mal à comprendre ce qu'on me demande... Et comment procéder

On me demande :
1) De donner l'estimateur du maximum de vraisemblance n de
2) De montrer que i=1, n Xi suit une loi loi-normale de paramètre (n, n) et d'en déduire E(n) ainsi que la variance
3) De déterminer une fonction pivotale pour le paramètre
4) De donner un intervalle de confiance bilatéral symétrique de niveau 95% pour le paramètre
5) Enfin, de donner l'estimateur n de par la méthode des moments basée surE(X²)

Par définition, je crois que la réponse à la question 1 est Xbarre n ; à la question 4 je suis un peu embêté car je n'ai pas l'impression qu'on nous demande de trouver la valeur du paramètre, mais on nous demande un intervalle de confiance. Et je suis complètement largué pour le reste des questions !

[rouge]Il ne s'agit pas d'un exercice donné par un prof, je ne suis plus étudiant ; c'est l'annale du sujet 2019 de statistiques du concours de DH disponible ici que je ne fais que travailler par moi-même :
https://***_{(document rapatrié sur notre site) il s'agit de l'exercice 5 (estimation )}

J'avais demandé de l'aide sur un autre site mais personne ne m'a répondu, j'espère donc que ça ne sera pas compté comme du multi.

Merci d'avance !

** image supprimée **

Posté par re : Estimateurs, EMV, fonction pivotale... 26-02-20 à 17:26

Hello ! Pas d'accord pour la 1.
Par définition, $\hat{\theta_n}$ est le paramètre qui maximise la vraisemblance

$\theta \to F((x_1,...x_n),\theta) = f(x_1,\theta)...f(x_n,\theta)$

Pour n réalisations de X : $x_1,...,x_n$ on cherche quel est le paramètre $\theta$ qui rend l'apparition de ces observations le plus probable

En général on maximise plutôt la log vraisemblance soit
$L : \theta \to log(F((x_1,...x_n),\theta)) = log(f(x_1,\theta)) + ..log(f(x_n,\theta))$

Bref en simplifiant tu cherches le point où la fonction suivante atteint son maximum :

$L(\theta) = A - \frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n (log(x_i) - \theta)^2$

ou encore plus simple, tu cherches à trouver là où est atteint de le minimum de
$L_2(\theta) =\sum_{i=1}^n (log(x_i) - \theta)^2$

Tu peux dériver la fonction comme d'hab etc

Posté par re : Estimateurs, EMV, fonction pivotale... 26-02-20 à 17:54

bonjour
j'ai rapatrié le document sur notre site, et supprimé l'image.
Je pense que par politesse, tu devrais mettre un message sur l'autre site afin que personne ne se penche sur le problème en doublon, ce qui toujours assez désagréable quand on s'en rend compte
(modérateur)

Posté par re : Estimateurs, EMV, fonction pivotale... 27-02-20 à 18:25

Merci beaucoup ! Et merci pour les détails concernant le multi et l'hébergement d'image notamment