Niveau autre

Estimation

Posté par Alev50 (invité) 13-05-06 à 17:37

Bonjour,

Je bloque sur la question suivante :

Soient $T_1$ et $T_2$ deux estimateurs indépendants et sans biais différents du même paramètre $\theta$ . On a : $T = \alpha T_1 + \beta T_2$ .
Déterminer $\alpha$ et $\beta$ de telle sorte que $T$ soit un estimateur sans biais ayant la plus petite variance possible. Quelle est la valeur de cette variance?

Je calcule facilement la variance en utilisant la linéarité de l'espérance mais je tombe inévitablement sur les espérances de $T_1^2$ et $T_2^2$ et je ne vois pas comment minimiser mon expression.

Merci d'avance.

Posté par re : Estimation 13-05-06 à 18:11

Peut-être qu'on attend que tu exprimes la réponse en fonction des variances de T1 et T2

Posté par re : Estimation 13-05-06 à 19:07

salut,

pour simplifier je note alpha=a et beta=b

1) on veut T sans biais, donc

E(aT1 + bT2)=
E(aT1 + bT2)= aE(T1) + bE(T2) = a + b = (a+b)

On obtient donc la condition : (a+b)= ca qui est équivalent à a+b=1 et donc b=1-a

2) T doit être de variance minimale_{[/sub]

Var(T)=Var[aT1 + (1-a)T2]

T1 et T2 sont indépendants, d'où

Var(T) = Var(aT1) + Var((1-a)T2)

Var(T) = a² Var(T1) + (1-a)² Var(T2) = a²[sub]1}² + (1-a)² ₂²

On veut que ² soit minimale. On calcule la dérivée, et on l'annule:

dérivée = 2 (a₁² - (1-a)₂²) = 0

d'où:

a = ₂² / (₁²+₂²)

(1-a) = ₁² / (₁²+₂²)

La valeur minimale de ² est:

²=a²₁² + (1-a)² ₂²

= ₂⁴ ₁² / (₁²+₂²)² +₂² ₁⁴/(₁²+₂²)²

et finalement:

²=₁²₂²/(₁²+₂²)

Voilà voilà..
sauf erreur

Posté par Alev50 (invité)re : Estimation 14-05-06 à 00:46

Je ne comprend pas la dernière ligne.

Posté par re : Estimation 14-05-06 à 01:37

Bonsoir,

je peux juste expliquer la derniere ligne, tes 2 fractions ont le meme denominateur donc tu les ajoutes et tu vois qu'en factorisant par "le produit des carres des 2 variables" tu peux simplifier...

essaie

Posté par Alev50 (invité)re : Estimation 14-05-06 à 11:14

Ah oui effectivement

Merci