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Estimations des paramètres d'une loi de Cauchy

Posté par
suistrop 02-03-08 à 17:01

Bonjour,
Je cherche a estimer mon parametre a d'une loi de Cauchy on m a donner la méthode mais je bloque!

Loi de Cauchy de parametre a > 0 et b :
X suit un loi de Cauchy de paramètre d'échelle a et de paramètre de position b si X =AY+b avec Y une variable aléatoire de densité :
5$g(y) = \frac{1}{\pi}\frac{1}{1+y^2}

Ainsi X a pour densité :

5$f(x)=\frac{a}{\pi}\frac{1}{a^2+(x-b)^2}

Pour une loi de Cauchy les moments n'existent pas et donc on peut peut pas appliquer la méthode des moments.
Dans ce cas on applique la méthode des quantile \Pi_a de la loi :
\mathbb{P}(X \le \Pi_\alpha)=\alpha

Estimation de b:

\mathbb{P}(X\le b)=\mathbb{P}(aY\le 0) avec X = aY+b

                 =\mathbb{P}(Y\le 0) car a > 0

                 =\Bigint_{-\infty}^{0}f(x)dx avec f(x) = \frac{1}{\pi}\frac{1}{1+y^2}
                

                   =\frac{1}{2}\Bigint_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx car f est paire

                 =\frac{1}{2} ca f est une densité.

QUESTION :
Comment avec cette méthode et en utilisant les Quantiles \Pi_{0.25} et \Pi_{0.75} trouver un estimateur de a?

Merci

Posté par
suistropre : Estimations des paramètres d'une loi de Cauchy 02-03-08 à 22:59

Posté par
suistropre : Estimations des paramètres d'une loi de Cauchy 04-03-08 à 04:41

Posté par
stokastikre : Estimations des paramètres d'une loi de Cauchy 04-03-08 à 08:57

Ca c'est l'énoncé complet de l'exercice, tel qu'on te l'a donné ?

Posté par
suistropre : Estimations des paramètres d'une loi de Cauchy 04-03-08 à 19:39

Oui c est cela.
Ca fais partie d un projet !
Et la je bloque pour trouver un estimateur de a.
j ai l impression que c est la différence entre le premier et le troisieme quartile divisé par 2.
Car en faisant des test avec ca je trouve la bonne loi...

Mais impossible de retomber la dessus par les calculs ....

Posté par
suistropre : Estimations des paramètres d'une loi de Cauchy 05-03-08 à 02:17

Sauveur de la nuit?

Posté par
stokastikre : Estimations des paramètres d'une loi de Cauchy 05-03-08 à 07:29

Je t'ai envoyé un document où tu trouveras ton bonheur.

Posté par
michou33demande d'information 04-04-09 à 21:00

Bonjour,

Je suis dans la même situation que suitrop. Est ce que je pourrais avoir le document dont vous parlez ci-dessus?

Merci d'avance.

Bonne soirée

Posté par
stokastikre : Estimations des paramètres d'une loi de Cauchy 04-04-09 à 21:57

Bonjour/bonsoir,

Si mes souvenirs sont bons il s'agissait de l'excellent 'Handbook of statistical distribution' de Christian Walck qu'on trouve ur la page perso dudit monsieur :

J'avais en outre donné cette indication à suistrop (qui ne m'a jamais répondu) :

Citation :
Je crois que la formule page 33 :

       x = x0 + Gamma*tan(2pi*ksi)

permet de démontrer ce que tu souhaites en l'appliquant pour ksi=1/4 et ksi=3/4.



NB : il est possible que ce ne soit plus à la page 33 car le papier de Walck a été mis à jour entretemps.

Posté par
michou33re : Estimations des paramètres d'une loi de Cauchy 04-04-09 à 22:02

merci beaucoup, je vais aller y jeter un coup d'oeil

Posté par
stokastikre : Estimations des paramètres d'une loi de Cauchy 04-04-09 à 22:37

Ca fait plaisir de voir qu'un topic vieux d'un an peut encore servir de nouveau !


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