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Etude asymptotique suite et son expression

Posté par
mylo36 10-09-16 à 22:35

Bonjour !

J'ai un exercice à rendre et je suis coincée :

On a un= n-1+(2/n)\sum_{k=1}^{n-1}{u_k} pour tout n2

J'ai du calculer u2(=1), u3(=8/3) et u4(=29/6)

Et je dois ensuite montrer que 3 nun-(n+1)un-1=2n-2

J'ai essayer en passant à la somme dans le premier membre mais ça ne marche par parce que je trouve nun-u0, par récurrence je bloque complétement aussi car je m'emele les pinceaux avec les sommes... comment procéder ?

Posté par
luzakre : Etude asymptotique suite et son expression 10-09-16 à 23:05

Bonsoir !
Il suffit d'écrire nu_n=n(n-1)+2S_n,\;S_n=\sum_{k=1}^{n-1}u_k
Alors (n-1)u_{n-1}=(n-1)(n-2)+2S_{n-1}
donc nu_n-(n-1)u_{n-1)=??? (n'oublies pas que S_n-S_{n-1}=u_{n-1} et en ajoutant -2u_{n-1} tu as ton résultat.

Posté par
mylo36re : Etude asymptotique suite et son expression 11-09-16 à 07:42

Bonjour !

Je viens de reprendre l'exercice mais petite question :

C'est nun-(n+1)un-1 que l'on doit trouver alors ça ne marche pas, si ?

Et pourquoi est-ce 2Sn-1 dans l'expression de Un-1 ?

Merci beaucoup !

Posté par
mylo36re : Etude asymptotique suite et son expression 11-09-16 à 07:48

Pour 2Sn-1 j'ai compris, j'avais juste oublié de changer l'indice !

En fait je suis bloquée ici :

nun-(n-1)un-1=n(n-1) + 2\sum_{k=1}^{n-1}{u_k}-(n-1)(n-2)+2\sum_{k=1}^{n-2}{u_k}

Je remarque qu'en développant les n on trouve bien 2n-2 mais que faire des sommes ? Et toujours le même problème avec "nun-(n-1)un-1"

Posté par
luzakre : Etude asymptotique suite et son expression 11-09-16 à 08:56

Tu as une erreur de signe : l'une des sommes est avec le signe "moins".

Je t'ai tout dit :
La différence S_n-S_{n-1} c'est juste u_{n-1} (le dernier terme de S_n, les autres disparaissent).
Pour avoir (n+1)u_{n-1} à partir de (n-1)u_{n-1} il suffit d'ajouter 2u_{n-1}

Posté par
mylo36re : Etude asymptotique suite et son expression 11-09-16 à 13:56

Génial je l'ai, merci beaucoup, j'avais en effet oublié de changer le signe dans ma parenthèse !

J'en profite pour demander un petit conseil quant à la question d'après (c'est un exercice de concours et j'ai un peu de mal malheureusement x)  ) :

J'ai k* vk=(uk/(k+1))

Je dois exprimer vn-vn-1 en fonction de n seulement

J'en suis ici :

vn-vn-1 = (n-1)/(n+1) +2 /((n+1)n)\sum_{k=1}^{n-1}{u_k}-1+ 2/n - 2/((n)(n-1))\sum_{k=1}^{n-2}{u_k}

Je vois le télescopage des sommes gros comme une maison mais elles ne sont pas factorisées par le même terme... aurais-je du changer mes k en indice n ? Comme ça j'aurais posé j=n-1 et j'aurais eu les mêmes sommes avec un télescopage ..

Merci d'avance !

Posté par
luzakre : Etude asymptotique suite et son expression 11-09-16 à 17:01

Tu te noies dans un verre d'eau.
v_n-v_{n-1}=\dfrac{u_n}{n+1}-\dfrac{u_{n-1}}n=\dfrac{nu_n-(n+1)u_{n-1}}{n(n+1)}
Le  numérateur est juste ce que tu viens de calculer, il suffit de remplacer par la formule de la question précédente.


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