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étude complète d une fonction
Bonsoir , j'ai la fonction suivante :
f(x) = (x²+2x-3)/x²
a) étudier ses variations .
alors on a décroissante sur -inf;0 , croissante sur 0;3 , et décroissante sur 3;+inf
b)déterminer les points d'intersections de la courbe C avec l'axe des abscisses et avec l'asymptote horizontale .
pour l'asymptote yen a pas , pour l'axe des abscisses c'est x = 1 et x = -3
c) trouver les équations des tangentes aux points d'abscisses -3 et +1
alors on a y = 4x-4 , et y = -4/9 * x - 4/3
d) vérifier que f(x) = 1 + 2/x - 3/x² , en déduire les primitives .
c'est là que je bloque :
1. ya une infiniés de primitives ou seulement quelques unes dans une fonction?
2. comment en ayant une autre écriture on peut les déduire , ils veulent dire les calculer? je comprends pas trop...
merci de votre aide .
Bonsoir.
1-Y'a une seule primitive à constante additive près (théorème de cours)
2-Ton écriture est plus simple, une primitive de la somme c'est la somme des primitives. Tu sais trouver la primitive de chacun des morceaux, donc pas de problème.
Bonne chance,
A+
j'ai regardé les formules des primitives dans vos fiches , et il n'y a pas celles de ma fonction :
1 + 2/x - 3/x²
primitive de 1 c'est x
2/x je peux le réécrire en 2 * 1/x mais ya pas 1/x dans les formules
-3 * 1/x² = -3/x
a)
Df = R*
f '(x) = (x²(2x+2)-2x(x²+2x-3))/x^4
f '(x) = (2x³+2x²-2x³-4x²+6x)/x^4
f '(x) = (-2x²+6x)/x^4
f '(x) = -2(x-3)/x³
f '(x) < 0 pour x compris dans ]-oo;0[ -> f(x) est décroissante.
f '(x) n'existe pas pour x = 0
f '(x) > 0 pour x compris dans ]0 ; 3[ -> f(x) est croissante.
f '(x) = 0 pour x = 3
f '(x) < 0 pour x dans ]3 ; oo[ -> f(x) est décroissante.
Il y a un maximum de f(x) pour x = 3, ce max vaut f(3) = 4/3
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b)
f(x) = 0 pour x²+2x-3 = 0
(x-1)(x+3) = 0
--> les points d'intersections de la courbe C avec l'axe des abscisses ont pour coordonnées (1 ; 0) et (-3 ; 0)
lim(x-> +/- oo) f(x) = 1
La droite d'équation y = 1 est donc asymptote horizontale à C, aussi bien du coté des x négatifs que du coté des x positifs.
lim(x-> 0) f(x) = -oo
La droite d'équation x = 0 est donc asymptote verticale à C. (on ne le demande pas dans l'énoncé).
Rencontre de C avec son asymptote horizontale:
Resoudre le système:
y = (x²+2x-3)/x²
y = 1
(x²+2x-3)/x² = 1
x²+2x-3 = x²
2x-3 = 0
x = 3/2
Le point cherché a pour coordonnées: (3/2 ; 1)
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c)
f(-3) = 0
f '(-3) = -4/9
Tangente(-3) : y = (x+3).(-4/9)
y = -(4/9)x - (4/3)
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f(1) = 0
f '(1) = 4
Tangente(1) : y = (x-1).4
Tangente(1) : y = 4x - 4
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d)
1 + 2/x - 3/x² = (x²/x²) + (2x/x²) - (3/x²) = (x²+2x-3)/x² = f(x) --> vérificatiuon OK.
f(x) = 1 + 2/x - 3/x²
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Ici, il y a un piège, mais il n'est pas sûr que même le prof en soit conscient.
On serait tenté d'écrire
Avec C une constante réelle quelconque.
Mais comme le domaine d'existence n'est pas connexe, on peut très bien donner des valeurs différentes à C pour x dans ]-oo;0[ et pour x dans ]0;oo[
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Sauf distraction. 
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