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etude d une fonction
Bonjour, est ce quelqun pourait verifier mes reponses pour l'exercice suivant et me donner un coup de main svp.
Partie A: Etude et representation graphique d'une fonction.
Soit f la fonction definie sur ]-1;+ infini[ par:
f(x)=ln(x+1)+e(-x)
1)Etudier les limites de f en -1 et en +infini.Justifier les resultats et preciser l'asymptote a la courbe representative de f dans un repere (O,i,j) orthonorme.
ma reponse:
lim de f en -1 = -infini
lim de f en +infini =+infini
f admet donc une asymptote vertical d'equation, x=-1 .
2)
a)Soit Q la fonction definie sur R par Q(x)=e(x)-x-1. Montrer que pour tout reel x, Q(x)=>0.
ma reponse:
Q'(x)=e(x)-1
Q est donc decroissante sur ]-1;0[ et croissante sur ]0;+infini[ et admet un minimum en 0, donc Q(x)=>0.
b)Etudier les variations de f sur ]-1;+infini[ et etablir le tableau de variation de f.
ma reponse:
On a f'(x)= e(-x)(e(x)-x-1)/(x+1)
Or on sait que e(x)-x-1=>0
et e(-x)>0 et x+1>0 sur ]-1;+ infini[
donc sur ]-1;+infini[, f'(x)>0, f est donc strictement croissante sur ]-1;+infini[.
3)Tracer la courbe C dans le repere orthonorme (O;i;j).On prendra comme unite de longueur 3cm.
ma reponse : C'est bon, je l'ai fais.
4)Montrer que l'equation f(x)=1/2 admet une solution unique k dans ]-1;+infini[ et montrer que -0.84<= k <= -0.83.
ma reponse:
f continue et croissante sur ]-1;+infini[, de plus on a:
f(0)< 1/2 < f(1)
car f(0)=0 et f(1)=ln(2)+e(-1)=1.06
donc d'apres le Theoreme des valeurs intermediares, f(x)=1/2, admet une solution unique k sur ]-1;+infini[.
f(-0.84)< 1/2<f(-0.83)
donc -0.84<= k <= -0.83
5)Etudier la position de C par rapport a la droite d'equation y=1/2.
ma reponse:
je sais que sur ]-1;k[ f est en dessous de la droite y=1/2 et que sur ]k; +infini[ elle est audessus, mais je ne sais pas comment le demontrer.
Partie B:Calcul d'une valeur approchee d'une aire.
1) Soit A l'aire exprimee en unites d'aire de la partie du plan limite par C et les droites d'equations x=k, x=0, y=0. Exprimer A a l'aide d'une integrale.
ma reponse:
A= integarle de (ln(x+1)+e(-x))dx entre k et 0.
2) Soit x un reel de ]-1;0[, calculer, en utulisant une integration par parties:
h(x)= integrale de (ln(1+t))dx entre x et 0.
Je ne comprend pas comment on peut calculer cette integrale car on a deux inconnues t et x.
Veuillez m'aider svp
merci
B)2) Je flaire une erreur d'énoncé. N'est-ce pas plutôt :
h(x)= integrale de x à 0 (ln(1+t))dt
Dans ce cas, je ne vois pas où est le problème. x est une borne de l'intégrale. Remplace-le par a si cela te semble psychologiquement plus simple.
re,
merci pour votre aide.
Pour la A)5) Je sais qu'il faut utuliser la croissance mais je ne me rappel pas de la technique.
merci
Bonjour
dans 2)a) il faut que tu précises que le minimum de Q est 0 pour pouvoir affirmer que Q(x)
0.
dans 2) la croissance stricte est assurée parce que la dérivée (positive) ne s'annule que pour une valeur de x.
dans 4) il faut préciser "srtictement" croissante pour avoir l'unicité de la solution.
dans 5) il suffit de déduire de ce qui précède le signe de f(x)-(1/2)
dans B)2) il doit plutôt s'agir de :
Il n'y a pas d'inconnue : il y a une variable t et un paramètre x :
En posant u(t)=ln(1+t) et v'(t)=1, on a
et v(t)=t
donc
or , donc la seconde intégrale est simple à calculer.
sauf erreur
re,
merci beaucoup pour votre aide.
Pour la A)5), je ne vois pas encore ce qu'il faut faire.
Pour la B)2) est ce quel'on trouve bien h(x)= xln(x+1)-x+ln(x+1)?
merci
D'accord pour la B)2)
Pour A)5)
f croît strictement et prend la valeur 1/2 pour x=a.
donc si x < k alors f(x) < 1/2 , et si x > k alors f(x) > 1/2, donc tu as ta réponse.
re,
merci beaucoup pour votre aide.
Est ce quelqun peut corriger mes resultats pour la suite svp.
2)b)En deduire F(x)= integrale de x a 0 de (f(t))dx
F(x)=h(x) + integrale de x a 0 de (e(-t))
F(x)=-xln(x+1)+x-ln(x+1)+e(-x)-1
3)Justifier que F est une fonction decroissante sur [-0.9;0] puis montrer que:
F(-0.83)<= A <= F(-0.84)
Pour que F soit decroissante sur [-0.9;0], ne faut-il pas que f soit negative sur [-0.9;0]?
Car c'est bizare parce que f est positive sur [-0.9;0]
merci
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