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étude d une fonction et modélisation d un coût
Bonsoir, je voulais vous demander votre aide parce que je suis en
retard ! à la bourre quoi . Je consacre beaucoup de mon temps à l'athlétisme
et j'ai du mal à m'organiser résultat : c'est la cata
!
Je bosse mais je suis pas toujours dans les temps comme en ce moment.
Merci d'avance .
PARTIE A :
Etude d'une fonction -
On considère la fonction f définie sur [0 ; + l'infini [ par :
f(x) = 2 x + 100 e^-0.2x
On note Cf la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (O;i;j).
Unités graphiques : 1 cm pour une unité en abscisse , 1cm pour 10
unités en ordonnée .
1) Calculer la limite de f en +l'infini. Ca c'est ok enfin
je crois !
2)Montrer que la droite D d'équation y=2x est asymptote à la courbe Cf.
3)Calculer la dérivée f' et étudier les variations de f sur l'intervalle
[0;+l'infini[ .
4)Tracer Cf et D dans le repère (O;i;j) pour x appartenant à [1;18].
5)Résoudre graphiquement l'inéquation f(x) plus petit ou égal à 50 sur
l'intervalle [1;18] .
6)Calculer la valeur exacte du nombre M=1/17 intégrale entre 1 et 18 f(x) dx
, puis donner sa valeur arrondie à l'entier le plus proche .
PARTIE B :
Modélisation d'un coût -
Un artisan confiseur qui propose des chocolats " faits-maison" en
fabrique de 1 à 18 kgs par jour . Le coût moyen de fabrication d'un
kilogramme de chocolat est exprimé en euros . Il est modélisé par
la fonction f , étudiée dans la partie A, où x désigne la masse en
kg de chocolats fabriqués (1 plus petit ou égal à x lui-même plus
petit ou égal à 18 soit x compris entre 1 et 18) .
1.a)Déterminer, à un euro près, le coût moyen de fabrication pour 6 kg fabriqués.
b)Quelle est la quantité à fabriquer pour que le coût moyen soit
minimum ?
c)Quel est alors ce coût ?
2.L'artisan vend ses chocolats au prix de 50 euros le kg. Quelle quantité minimale
doit-il fabriquer pour faire un bénéfice ?
3.Quelle est pour l'artisan la valeur moyenne du coût de fabrication
d'un kg de chocolats ?
La partie B est vraiment corsée je trouve !
Vraiment merci par avance pour votre grande aide . Merci .
Clara
A
1) lim(x-> +oo) f(x) = +oo
-----
2)
f(x) = 2 x + 100 e^-0.2x
lim(x-> +oo) [100.e^(-0,2x)] = 0
et donc la droite d'équation y = 2x est asymptote oblique à Cf.
-----
3)
f '(x) = 2 - 20.e^-0,2x
f '(x) = 2(1 - 10.e^-0,2x)
f'(x) = 0 pour 1 - 10.e^-0,2x = 0, soit pour x = 5.ln(10)
f '(x) < 0 pour x compris dans [0 ; 5.ln(10)[ -> f(x) décroissante.
f '(x) = 0 pour x = 5.ln(10)
f '(x) > 0 pour x compris dans ]5.ln(10) ; oo[ -> f(x) croissante.
Il y a un minimum de f(x) pour x = 5.ln(10), ce min vaut f(5ln(10))
= 33,0258...
f(0) = 100.
-----
5)
Sur le graphe, on lit: x compris dans [4,44 ; 18] avec 4,44 une valeur
approximative.
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6)
M = (1/17) S(de 1 à 18) [2x + 100.e^-0,2x ].dx = (1/17).[x² - (100/0,2)
e^-0,2x ] de 1 à 18
= (1/17)[x² - 500 e^-0,2x ] de 1 à 18
=(1/17).[18² - 500.e^-3,6 - 1 + 500 e^-0,2]
=(1/17).[323 - 500.e^-3,6 + 500 e^-0,2]
M = 42 arrondi.
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Sauf distraction. 
La partie B n'a rien de corsé, c'est une interprétation
directe des résultats de la partie A.
Partie B.
1)
a)
f(6) = 42 (arrondi)
b)
On a vu que f(x) est minimum pour x = 5.ln(10) = 11,51...
Il faut donc fabriquer 11,5 kg de chocolat pour que le coût de fabrication
au kg soit min.
c)
Voir exercice A: f(5.ln(10)) = 33,0258...
Le coût de fabrication est donc de 33,03 € le kg.
2)
Voir exercice A point 5:
Il doit fabriquer une quantité minimum de 4,44 kg de chocolat.
3)
= f(x)/x = 2 + [(100/x).e^(-0.2x)]
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Sauf distraction.
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