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Etude d'une fonction numérique et volume d'un cône !
Bonjour à tous,
voilà j'ai un exercice pour un DM ! L'exercice est en deux parties, une "Etude d'une fonction numérique" que j'ai réussi et une autre "Volume d'un cône" que je n'arrive pas !
Au bas du message j'ai posté la figure avec les informations sur la figure !
Voici les questions:
a) Prouver que OH/AH = BC/AB
En déduire les égalités:
h = x
(h-1)2-1
x2 = h/(h-2)
et h = (2x2)/(x2-1)
b) En pivotant autour de (AB), le triangle ABC engendre un cône de révolution de sommet A.
Rappelons que le volume d'un cône de révolution de hauteur h et de base d'aire S est: V=(hS)/3.
Exprimer le volume V(x) du cône, en fonction de x.
c) A l'aide des résultats de la question 1, déterminer pour quelle valuer de x, le volume est minimal.
Déterminer, pour quelle valeur de x, l'angle BÂC (à 0.1 degrès près).
Ce que j'ai fait:
a) J'avais pensé dans un premier temps au Théorème de Thales mais il n'y pas de droites parallèles donc ...
b) V=(hS)/3
S= l'aire du cercle de centre B et de rayon BC=x
S= 
BC2 = x2
V=(hx2)/3
Là je pense qu'il faut utiliser un des résultats de la question a) pour enlever le h non ?
c) Je ne vois pas comment il faut faire ...
Merci d'avance pour vos réponses ...
Bonsoir .
Question a) pense à tan(BAC) ... qui donnera
OH/AH = BC/AB
Cette réponse donne : AB = BC* AH/OH
soit : h = x *(AO² - 1)
salut je suis entraine de faire le même Dm et je ne comprends pas comment tu as fais pour le a) et le c) pourrais tu m'expliquer ?
Bonjour Sianarum. Tu t'es inscrite hier, ....mais tu aurais dû lire d'abord les réponses données !
Pour le a), j'avais donné la réponse le 23/09/09 !.....
C'est assez clair ... ou alors, tu peux comparer les triangles semblables . Bonne chance.
Une méthode parmi d'autres :
a)
Les triangles ABC et AHO ont l'angle en A en commun et chacun a un angle droit, et donc les triangles ABC et AHO sont de même forme.
On a donc AH/AB = OH/BC
--> OH/AH = BC/AB
---
OH/AH = BC/AB
OH/AH = x/h
AH = h/x * OH (1)
AO+OB = AB et OH=OB comme rayons d'un même cercle.
Comme OB = 1, on a OH = 1
--> AO = AB - OB = h - 1
et (1) --> AH = h/x (2)
Pythagore dans le triangles AHO : AO² = OH² + AH²
(h-1)² = 1² + AH²
AH² = (h-1)² - 1
AH = V[(h-1)² - 1] (avec V pour racine carrée)
Dans(2) --> h/x = V[(h-1)² - 1]
h = x.V[(h-1)² - 1]
On élève les 2 membres au carré :
h² = x² * [(h-1)²-1]
h² = x² * (h² - 2h + 1 - 1)
h² = x² * (h² - 2h)
et comme h est différent de 0, on peut diviser les 2 membres par h -->
h = x² * (h - 2)
x² = h/(h-2)
x².(h-2) = h
hx² - 2x² = h
hx² - h = 2x²
h(x²-1) = 2x² et comme x²-1 n'est pas nul -->
h = 2x²/(x²-1)
-----
c)
Je présume que le cône est celui généré par le segment [AB] tournant autour de l'axe (AB)
Si oui, alors : V = (1/3) * Pi. BC² * AB
V = (1/3) * Pi. x² * h
V = (1/3).Pi*x²*(2x²/(x²-1))
V = (2.Pi/3) x^4/(x²-1)
Cette relation qui semble ne pas être homogène ... l'est quand même (car le "2" de cette relation n'est pas un nombre pur, il a les dimensions d'une longueur, on a le même phénomène dans plusieurs relations dans cet exercice)
Il reste donc à chercher pour quelle valeur de x on a un minimum de f(x) = x^4/(x²-1) (pour x > 1)
Cela se fait, par exemple, par l'étude des variations de f(x) = x^4/(x²-1) (pour x > 1)
...
Sauf distraction.
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