Bonsoir pour demontrer que F est derivable tu peux exprimer F(x)-F(x0)/x-x0 et encadrer cette expression puis faire tendre x vers x0.

Salut Neptune

Je te laisse montrer la dérivabilité de u. Sers toi des operations sur les fonctions dérivables.
u'(x)=(1+tan²(x))*F'(tanx)

u(0)=F(0)=0
Et si tu montres que u'(x)=0 alors u est constante et est égale à 0.

Voila sauf erreur de ma part
Joelz

Merci, je vais essayer tout ça.. même si ça me parait encore dur ^^

Donc,

J'ai essayé le F(x) - F(0) / x.... et je trouve que ça ne me mène nul part.
Car cela va m'obliger à calculer l'intégrale et c'est la dernière question "montrer que cette intégrale vaut pi/4).

Ai-je fait une rreur ?

Merci

Tu as F(x)-F(x0)= integrale de x0 a x de 1/1+t². Tu peux majorer ca par (x-x0)1/1+x0² et le minorer par (x-x0)1/1+x².

Oui mais, dans mes souvenirs, il faut que je passe à la limite aprés non ?

Si la limite existe et est unique, alors la fonction est dérivable.

C'est bien ça non ?

Oui mais quand tu divises par x-x0 il te reste des deux cotes 1/1+x² et 1/1+x0² et les deux tendent vers 1/1+x0² quand x tend vers x0 donc F est derivable en x0 de derivee 1/1+x0².

Je comprends vraiment pas..

"Des deux cotés" ?

Tu as F(x) - F(0) = intégrale de 0 à x de 1/1+t²
Je ne vois pas que faire du plus vu que c'est notre point de départ :S

Je ne comprend pas très bien l'énoncé, a priori F(x) tel que tu l'as défini initialement est constante et ne dépend pas de x .
y a t-il une erreur dans l'énoncé ?

Ah oui.. en effet.

Les bornes de F(x) sont 0 et x et non 0 et 1 comme marqué dans mon premier message.

Désolé.

de même tu écris

une fonction de x qui dépend de t c'est bizarre...

On suppose .L'autre cas est identique.



donc comme pour t dans  l'intervalle on a

on en deduit :

d'ou:

.

On en deduit le resultat en passant a la limite.

Ah d'accord.

Je ne comprenais pas, mais en fait tu passes par la valeur moyenne.
Donc ok, c'est bon, je vais étudier ça de plus près tout de même ^^

Pourrais tu m'expliquer les question suivantes Cauchy ?

Merci énormément en tout cas

Ce n'est pas plutot sur [0,pi/2[?

u(x)=F(tan x) donc d'apres la formule de la derivee d'une composee de fonction on a u'(x)=(tanx)'*F'(tanx)=(1+tan²x)*(1/1+tan²x)=1.

Apres u(0)=0 Ok.Il y a une erreur ensuite je pense plutot qu'il faut montrer que u(x)=x pour tout x.

Mon Dieu O_o
Je me suis relu pourtant :/

Tu as tout à fait raison Cauchy ... :/

Comme u'(x)=1 on a u(x)=x+Cste et grace a u(0) tu vois que Cste=0 donc u(x)=x.

En fait l'exercice avait pour but de te montrer que F est la fonction reciproque de tanx c'est a dire F(tanx)=x. On l'appelle la fonction Arctangente et elle est donc de derivee 1/1+x².

C'est donc ça la fameuse arctangeante dont me parlait mon ami... j'comprenais rien O_o.

Dit, j'ai juste une dernière question.

Il me demande de déduire des question précédentes que intégrale de 0 à 1 de 1/(1+t²)dt = pi/4.

Je dois calculer F(1) pour trouver cela ?

On sait  que F(tan pi/4)=pi/4 or tan pi/4=1 donc F(1)=pi/4 d'ou le resultat.

Pfiou !

Cauchy, vraiment, merci
Enfin, même plus que merci, je te suis vraiment reconnaissant

Vu que j'ai fini, au lit moi... merci encore

De rien

Bonne nuit alors moi je vais regarder 100% Foot

Bon 100% Foot à toi alors !