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Etude de branche infinie

Posté par
Samsco 18-05-20 à 16:17

Bonjour j'ai besoin de votre aide svp

Exercice :

Dans chacun des cas suivants étudier les branches infinies de la courbe représentative (C) de la fonction f .

a) f(x)=\sqrt{4x²-12x+10} \\ b) f(x)=f(x)=-x^3+2x²-3x \\ c) f(x)=2x-3\sqrt{x} \\ d) f(x)=2x+4+\cos x

Réponses :

a)
f(x)=\sqrt{4x²-12x+10} \\ D_f=\mathbb{R}

f(x)=\sqrt{4x²-12x+10}=\sqrt{x²(4-\dfrac{12}{x}+\dfrac{10}{x²})}=|x|\sqrt{4-\dfrac{12}{x}+\dfrac{10}{x²}} \\ \\ On~a:~\lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x \to +\infty}x\sqrt{4-\dfrac{12}{x}+\dfrac{10}{x²}}=+\infty~~et~~ \lim_{x \to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x \to +\infty}\sqrt{4-\dfrac{12}{x}+\dfrac{10}{x²}}=2 \\ \\ \lim_{x \to +\infty}f(x)-2x=\lim_{x \to +\infty}\dfrac{4x²-12x+10-4x²}{\sqrt{4x²-12x+10}+2x}}=\dfrac{x(-12+\dfrac{10}{x})}{x(\sqrt{4-\dfrac{12}{x}+\dfrac{10}{x²}}+2)}=-3

donc la droite (∆1) d'équation y=2x-3 est asymptote à (C) en +\infty

de~meme:~\lim_{x \to -\infty}f(x)=\lim_{x \to -\infty}-x\sqrt{4-\dfrac{12}{x}+\dfrac{10}{x²}}=-\infty~~et~~\lim_{x \to -\infty}\dfrac{f(x)}{x}=-x\sqrt{4-\dfrac{12}{x}+\dfrac{10}{x²}}=-2 \\ \\ \lim_{x \to -\infty}f(x)+2x=\lim_{x \to -\infty}\dfrac{x(-12+\dfrac{10}{x})}{-x(\sqrt{4-\dfrac{12}{x}+\dfrac{10}{x²}}+2)}=3

La droite (∆2) d'équation y=-2x+3 est asymptote à (C) en -\infty

Je voudrais savoir si c'est bon avant de continuer

Posté par
malou Webmasterre : Etude de branche infinie 18-05-20 à 16:24

Bonjour
lu en diagonale ça a l'air d'être OK
et geogebra....

Etude de branche infinie

bravo en tout cas pour ton écriture sur le site

Posté par
Glapion Moderateurre : Etude de branche infinie 18-05-20 à 16:24

oui c'est bon
Etude de branche infinie

Posté par
Samscore : Etude de branche infinie 18-05-20 à 17:13

OK , je continue alors

b)

f(x)=-x³+2x²-3x \\ D_f=\mathbb{R} \\

On~a:~\lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x \to +\infty}-x³=-\infty~~et~~\lim_{x \to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x \to +\infty}\dfrac{x^3(-1+\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{x²})}{x}=x²(-1+\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{x²})==-\infty \\ \\ de~meme:~\lim_{x \to -\infty}f(x)=\lim_{x \to -\infty}-x^3=+\infty~~et~~\lim_{ x \to -\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x \to -\infty}x²(-1+\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{x²})=-\infty

(C) admet en +\infty et en -\infty une branche parabolique de direction celle de (OJ)

Posté par
malou Webmasterre : Etude de branche infinie 18-05-20 à 17:19

n'écris la limite qu'à la fin comme déjà dit...

tu calcules f(x) / x et seulement après la limite

sinon, oK pour les branches paraboliques

Posté par
Samscore : Etude de branche infinie 18-05-20 à 17:48

D'accord
c)
f(x)=2x-3\sqrt{x} \\ D_f=[0~;~+\infty[ \\ \\ f(x)=2x-3\sqrt{x}=x(2-\dfrac{3}{\sqrt{x}})

~\lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x \to +\infty}x(2-\dfrac{3}{\sqrt{x}})=+\infty \\ \\ \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{x(2-\dfrac{3}{\sqrt{x}})}{x}=2-\dfrac{3}{\sqrt{x}} \\ \\ ~\lim_{x \to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=2 \\ \\ f(x)-2x=-3\sqrt{x} \\ \\ \lim_{x \to +\infty}f(x)-2x=-\infty
(C) admet une branche parabolique de direction celle de la droite y=2x

Posté par
malou Webmasterre : Etude de branche infinie 18-05-20 à 17:49

exact, et rédaction correcte cette fois

Posté par
Samscore : Etude de branche infinie 18-05-20 à 18:15

malou @ 18-05-2020 à 17:49

exact, et rédaction correcte cette fois

OK

d)
f(x)=2x+4+\cos x \\ D_f=\mathbb{R} \\ \\ \forall x \in \mathbb{R}~,-1 \leq \cos x \leq 1 \\ \iff 2x+3 \leq f(x) \leq 2x+5

On~a:~\lim_{x \to -\infty}2x+3=\lim_{x \to -\infty}2x=-\infty~~et~~\lim_{x \to -\infty}2x+5=\lim_{x \to -\infty}2x=-\infty \\ \\ donc~\lim_{x \to -\infty}f(x)=-\infty \\ \\ de~meme:~\lim_{x \to +\infty}2x+3=\lim_{x \to +\infty}2x=+\infty~~et~~\lim_{x \to +\infty}2x+5=\lim_{x \to +\infty}2x=+\infty \\ \\ donc~\lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty

\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{2x+4+\cos x}{x} \\ \\ \forall x<0,\dfrac{2x+5}{x} \leq \dfrac{f(x)}{x} \leq \dfrac{2x+3}{x} \\ \\ \forall x>0~,\dfrac{2x+3}{x} \leq \dfrac{f(x)}{x} \leq \dfrac{2x+5}{x}

\forall x<0~, \lim_{x \to -\infty}\dfrac{2x+5}{x}=\lim_{x \to -\infty}\dfrac{2x}{x}=2~~et~~\lim_{x \to -\infty}\dfrac{2x+3}{x}=\lim_{x \to -\infty}\dfrac{2x}{x}=2 \\ \\ donc ~\lim_{x \to -\infty}\dfrac{f(x)}{x}=2 \\ \\ f(x)-2x=4+\cos x [\tex] \\ \\ Comment~calculer~la~limite~de f(x)-2x? \\ \\ \forall x>0~,\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x+3}{x}=2 ~~et~~\lim_{ x \to +\infty}\dfrac{2x+5}{x}=2 \\ \\ donc :~\lim_{x \to +\infty}f(x)=2 \\ \\ f(x)-2x=4+\cos x

Posté par
malou Webmasterre : Etude de branche infinie 18-05-20 à 18:26

un peu lourd je trouve
quand tu arrives à \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{2x+4+\cos x}{x}

moi j'écrirais tout de suite \dfrac{f(x)}{x}=2+ \dfrac{4+\cos x}{x}

ensuite tes histoires de x positif ou négatif, bof...à revoir
et ensuite f(x)-2x n'admet pas de limite en + l'infini
il se passe bien quelque chose dans la direction de la droite y=2x, mais ce n'est ni une asymptote, ni une branche parabolique...dessine la dans geogebra, tu vas voir
tu as un "genre" de sinusoïde dans cette direction

Posté par
carpediemre : Etude de branche infinie 18-05-20 à 18:37

salut

a/ pourquoi ne pas mettre directement(2x)^2 en facteur ?

d'autre part 4x^2 - 12x + 10 = (2x - 3)^2 + 1

donc on a immédiatement f(x) = |2x - 3| \sqrt {1 + \dfrac 1 {(2x - 3)^2} ce qui donne immédiatement les asymptotes ...

sinon on peut calculer f(x) - |2x - 3|  = ... en utilisant la quantité conjuguée ...

Posté par
carpediemre : Etude de branche infinie 18-05-20 à 18:43

Citation :
On~a:~\lim_{x \to -\infty}2x+3=\lim_{x \to -\infty}2x=-\infty~~et~~\lim_{x \to -\infty}2x+5=\lim_{x \to -\infty}2x=-\infty \\ \\ de~meme:~\lim_{x \to +\infty}2x+3=\lim_{x \to +\infty}2x=+\infty~~et~~\lim_{x \to +\infty}2x+5=\lim_{x \to +\infty}2x=+\infty

une fonction affine est une fonction de référence  dans le calcul des limites ...

il est donc inutile de passer par l'étape où tu jettes la constante ... et tu peux donner directement la limite ...


f(x) = 2x + 4 + cos x ...

la courbe de f n'admet pas d'asymptote mais possède une direction asymptotique : la droite d'équation y = 2x + 4

Posté par
carpediemre : Etude de branche infinie 18-05-20 à 18:46

f(x) = 2x + 4 + \cos x = (2x + 4) (1 + \dfrac {\cos x} {2x + 4})

Posté par
Samscore : Etude de branche infinie 18-05-20 à 19:06

carpediem @ 18-05-2020 à 18:43




f(x) = 2x + 4 + cos x ...

la courbe de f n'admet pas d'asymptote mais possède une direction asymptotique : la droite d'équation y = 2x + 4

Si c'est le cas , normalement la limite en +l'infini ou -l'infini de f(x)-2x devrait être égal à 4 non?

Posté par
malou Webmasterre : Etude de branche infinie 18-05-20 à 19:42

à méditer....

Etude de branche infinie

Posté par
Samscore : Etude de branche infinie 18-05-20 à 22:31

Samsco @ 18-05-2020 à 19:06

carpediem @ 18-05-2020 à 18:43


f(x) = 2x + 4 + cos x ...

la courbe de f n'admet pas d'asymptote mais possède une direction asymptotique : la droite d'équation y = 2x + 4

Si c'est le cas , normalement la limite en +l'infini ou -l'infini de f(x)-2x devrait être égal à 4 non?

J'ai pas bien lû la phrase

Mais en général , quand f(x)/x admet une limite finie "a" et f(x)-ax n'admet pas de limite , (C) admet une branche parabolique de direction celle de la droite y=ax , pourquoi il y a un "4" qui s'ajoute dans notre cas?

Posté par
carpediemre : Etude de branche infinie 19-05-20 à 08:49

ici on n'est pas dans les cas connus ou définis proprement  ...

f(x) - (2x - 4) = cos x n'a pas de limite ni infinie ni finie mais la courbe "s'en va" dans la direction de la droite y = 2x - 4 (qui a même direction que la droite y = 2x d'ailleurs)

de la même façon pour f(x) = -x^3 + 2x^2 - 3x on parle de branche parabolique pare que la parabole est la "première" fonction présentant cette propriété ... mais si on voulait être plus précis on parlerait de branche "cubique" (toujours de direction l'axe ds ordonnées) puisque f(x) = -x^3[1 + h(x)]  avec lim h(x) = 0 à l'infini (voir deuxième lien)

et

Posté par
Samscore : Etude de branche infinie 19-05-20 à 15:05

D'accord.

Merci !

Posté par
carpediemre : Etude de branche infinie 19-05-20 à 15:43

de rien


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