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etude de fonction

Posté par victoria21 (invité) 02-11-04 à 00:04

bonsoir j'ai une etude de fonction ki me pose bien probleme.... je suis vriament coincée, voilà mon probleme :
j'ai la fonction g(x) définie sur ]-1;+ l'infini[ par
g(x) = (x+1)(ln(x+1))²-x²
je dois chercher g'(x) et g"(x).
Puis je dois etudier les variations de g et donner son signe sur l'ensemble de définition, et apres pour finir je dois en déduire les variations de h définie par : h(x)= ( 1 / (ln(x+1) ) - 1/x
merci de votre aide...

Posté par mll (invité)re : etude de fonction 02-11-04 à 01:45

c tu a quoi correspond ln(x+1) ?

Posté par
dad97 Correcteurre : etude de fonction 02-11-04 à 09:54

Bonjour victoria21,

Pour la dérivation tu dois utiliser les formules :

(U\times V)^'=U^'V+V^'U

en particulier (U^2)^'=2U^'\times U

(UoV)^'=V'\times (U'oV)

tu dois arriver à

g^'(x)=[ln(x+1)]^2+2ln(x+1)-2x

g^{''}(x)=\frac{2}{x+1}\times [ln(x+1)-x]

Salut

Posté par victoria21 (invité)heu voui maisx) encore lol 02-11-04 à 10:13

oui j'avais sensiblement trouvé la mm chose mais mon probleme c ke je vois po a koi correspond h(x) par rapporrt a g(

Posté par
dad97 Correcteurre : etude de fonction 02-11-04 à 10:52

Euh dans ton expression de h :
tu as trois parenthèses qui s'ouvrent et deux qui se ferment il en manque une ou il y en une en trop ?

Posté par victoria21 (invité)re : etude de fonction 02-11-04 à 10:55

oui oui il en manke une en faite c
g(x) =( 1 / (ln (x+1)) ) - 1/x

Posté par victoria21 (invité)re : etude de fonction 02-11-04 à 12:11

please kkun peut m aider :(:(

Posté par
dad97 Correcteurre : etude de fonction 02-11-04 à 12:54

Re victoria21,

en déduire les variations de h définie par : h(x)= ( 1 / (ln(x+1) ) - 1/x est un peu exagéré (ou alors je m'y suis mal pris):

h(x)=\frac{1}{ln(x+1)}-\frac{1}{x}

h'(x)=\frac{-\frac{1}{x+1}}{ln^2(x+1)}+\frac{1}{x^2}

=\frac{-1}{(x+1)ln^2(x+1)}+\frac{1}{x^2}

Ensuite g(x)=(x+1)ln^2(x+1)-x^2
donc (x+1)ln^2(x+1)=g(x)+x^2

soit en remplaçant dans h' :

h'(x)=\frac{-1}{g(x)+x^2}+\frac{1}{x^2}=\frac{-x^2+g(x)+x^2}{x^2(g(x)+x^2)}

d'où h'(x)=\frac{g(x)}{x^2[g(x)+x^2]} essayons d'en étudier le signe :

Tu as du voir dans les questions précédentes que pour tout x de ]-1,+\infty[, g(x)\le0

donc pour tout x où h' est définie le numérateur de la fraction est négatif ou nul.
Pour le dénominateur :
On a g(x)+x^2=(x+1)ln^2(x+1) donc comme x>-1 cet expression est positive.

Et donc au bilan h' est négative sur ]-1;0[\cup]0;+\infty[

Donc h est décroissante sur ]-1;0[\cup]0;+\infty[

Sans question intermédiaire la déduction est loin d'être immédiate, non ?

Salut

Posté par victoria21 (invité)re : etude de fonction 02-11-04 à 14:15

Merci beaucoup pour ton aide qui m'a été d'un très grand secours, bonne continuation pour la suite ! et a bientôt
!
bisous


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