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Étude de fonction 2

Posté par
Samsco 01-01-21 à 18:34

Bonsoir j'ai besoin de votre aide svp.

Exercice :

1) Soit n \in \mathbb{N^*} et f la fonction définie sur \mathbb{R} par:

f(x)=(1+x)^n-1-nx.

Établir le sens de variation de f sur ]-1 ; +oo[.

2) a) Établir l'inégalité de Bernouilli:
(1+x)^n \geq 1+nx

pour tout n \in \mathbb{N^*} et x \in [1~;~+\infty[

b) Pour quelle(s) valeur(s) de x a-t-on l'égalité.

Réponses :

1) \forall x \geq -1~,f'(x)=n(1+x)^{n-1}-n=n\left((1+x)^n-1\right)

Je ne vois pas comment je peux étudier le signe de f'(x)

Posté par
diracre : Étude de fonction 2 01-01-21 à 18:49

Hello

Deux "indices":

1/ n est positif

1/ 1^n=1

Posté par
Samscore : Étude de fonction 2 01-01-21 à 18:52

Désolé mais je ne vois toujours pas .

Posté par
diracre : Étude de fonction 2 01-01-21 à 19:07

Tu cherches à déterminer le signe de   (1+x)^n-1

Donc à savoir quand (1+x)^n-1 \ge 0

Soit (1+x)^n\ge 1

Or x\ge -1 donc x+1 \ge 0

Tu continues?

Posté par
Samscore : Étude de fonction 2 01-01-21 à 19:45

x ≥ -1
=> x+1 ≥ 0
=> (x+1)n ≥ 0
=> (x+1)n-1 ≥ -1

Posté par
diracre : Étude de fonction 2 01-01-21 à 21:23

En écrivant cela, tu ne continues pas ... tu reviens sur tes pas

x+1 \ge 0 \Rightarrow  \sqrt[n\,]{(x+1)^n} = x+1

Posté par
Samscore : Étude de fonction 2 01-01-21 à 22:23

En quoi est-ce ça m'aide à montrer que :
(x+1)^n -1 ≥ 0 ?

Sinon je penses à quelque chose ,

On a :
(x+1)^n -1 ≥ 0
=> (x+1)^n ≥ 1
x ≥ -1 => x+1 ≥ 0

=> (x+1)^n ≥ 1^n

=> x+1 ≥ 1

=> x ≥ 0

Posté par
diracre : Étude de fonction 2 02-01-21 à 04:45

En quoi est ce que cela t'aide? En particulier à écrire ton avant dernière implication  

Tu ne peux écrire   (x+1)^n \ge 1^n \Rightarrow  (x+1) \ge 1   que parce que tu est dans le cas où   x+1 \ge 0

En exemple pour t'en convaincre   (-2)^2 \ge 1^2 et pourtant  -2 < 1

Posté par
Samscore : Étude de fonction 2 02-01-21 à 17:52

Oui j'ai compris ce que vous vouliez dire à 19h 07 un peu tard  .

Mais je ne vois toujours pas pourquoi :

[n\]\sqrt{(x+1)^n}=x+1 \geq 0 \Rightarrow (x+1) \geq 1

Posté par
Samscore : Étude de fonction 2 02-01-21 à 17:55

\sqrt[n\,]{(x+1)^n}=x+1 \geq 0 \Rightarrow (x+1) \geq 1

Posté par
diracre : Étude de fonction 2 02-01-21 à 18:38



Cette implication n'a pas été écrite jusqu'à présent, et à juste titre ...

Bon on revient à la question posée et on va trancher fin:

Tu as établis que

f'(x)=n\left((1+x)^{n-1}-1\right)

Et on cherche alors à déterminer le signe de  f' sur l'intervalle ]-1 , +\infty[

Comme x \ge -1 ,

\forall p \in \mathbb{N^*}, (x+1)^p \ge 0

donc

\sqrt[p\,]{(x+1)^p} = x+1

Et donc

(1+x)^{n-1} \ge 1   \Leftrightarrow  1+x \ge 1  \Leftrightarrow   x \ge 0

On a bon? Tu peux poursuivre?

Posté par
Samscore : Étude de fonction 2 03-01-21 à 20:21

Je ne comprends pas pourquoi \sqrt[n\,]{(x+1)^n}=x+1 nous permet de déduire que
(x+1)^{n-1}  ≥ 1 => x+1 ≥ 1.

Aussi , dans notre cas p=n-1
n ≥ 1 =>  n-1 ≥ 0 => p ≥ 0
Pourquoi vous  avez exclu de l'intervalle où n est définit .

Posté par
diracre : Étude de fonction 2 04-01-21 à 08:38

Hello

"Pourquoi vous  avez exclu de l'intervalle ..."

J'ai exclu le cas p = 0, qui correspondrait au cas n-1 = 0, soit n =1 pour lequel f(x) est la fonction nulle et pour lequel la racine p-ième poserait souci. Mais le cas n=1 s'étudie  facilement.

"Je ne comprends pas pourquoi ..."

Si la fonction \sqrt[p\,]{x} est continûment croissante partout où elle est définie

la fonction x^p  ne l'est pas dans le cas où p est pair (cf mon exemple avec -2)

Pour pouvoir écrire  \sqrt[p\,]{(x+1)^p} = x+1   il faut prendre soin de mentionner que x+1 \ge 0

Une fois ceci posé, tu es autorisé à écrire l'implication qui te soucie, en mentionnant si tu le juges nécessaire que la fonction \sqrt[p\,]{x} étant continument croissante sur + et 1p étant égal à 1:

((1+x)^{p} \ge 1 )  \Leftrightarrow ( 1+x \ge 1 ) \Leftrightarrow   ( x \ge 0  )

Posté par
Samscore : Étude de fonction 2 10-01-21 à 09:44

J'ai compris !

La fonction racine p ieme étant continue et strictement croissante sur R+ , (x+1)^p \geq 1^p \iff \sqrt[p\,]{(x+1)^p} \geq \sqrt[p\,]{1^p}.

Y a t-il d'autres méthodes pour trouver le signe de la dérivée ?

Posté par
diracre : Étude de fonction 2 10-01-21 à 18:03

Citation :
Y a t-il d'autres méthodes pour trouver le signe de la dérivée ?


Euh ... oui ... mais... la méthode utilisée est assez directe il me semble

On étudie f sur l'intervalle ]-1; +\infty[, définie par f(x)=(x+1)^n-1-nx
f'(x)=n((x+1)^{n-1} -1)
La fonction \sqrt[p\,]{x} étant continument croissante sur   \mathbb{R_+}

\forall x \in ]-1 , +\infty[, \forall n \in \mathbb{N^*}:

f'(x) \ge 0 \Leftrightarrow x +1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0

Donc tu aboutis rapidement à la conclusion que f est décroissante sur ]-1 , 0 ] puis croissante sur [0  , +\infty[

Maintenant si tu veux plus exotique ...

Soit g_p(x) = (x+1)^p - 1 avec p \in \mathbb{N}

g_0(x) \le 0   \forall x \in ]-1 , 0 ],    g_0(x) \ge 0   \forall x \in ]0 , +\infty[ ,  

Suppons qu'au rang p

g_p(x) \le 0   \forall x \in ]-1 , 0 ],    g_p(x) \ge 0   \forall x \in ]0 , +\infty[ ,

g_{p+1}(x) = g_p(x) + x(x+1)^p  

Sur l'intervalle ]-1 , 0 ]:
g_p(x) \le 0  et  x(x+1)^P \le 0, donc g_{p+1}(x) \le 0

Sur l'intervalle [0 , +\infty ]:
g_p(x) \ge 0  et  x(x+1)^P \ge 0, donc g_{p+1}(x) \ge 0

Par récurrence on aura donc démontré que

\forall n \in \mathbb{N^*}

f'(x) \le 0   \forall x \in ]-1 , 0 ]  et f'(x) \ge 0   \forall x \in [0 , +\infty ]

Posté par
Samscore : Étude de fonction 2 10-01-21 à 18:39

Pour effectuer cette méthode , il faut connaître le résultat .

Posté par
diracre : Étude de fonction 2 10-01-21 à 19:17

"Pour effectuer cette méthode , il faut connaître le résultat "



Ce qui est chouette c'est qu'avec nos calculettes (même en mode examen) et des outils tels que Geogebra ... le résultat on peut le conjecturer rapidement

Tu me diras que la lecture de la question 2 permet de conjecturer tout autant

Je m'efforçais, soit dit en passant,  de répondre à ta question "Y a t il d'autres méthodes?"

Posté par
Samscore : Étude de fonction 2 10-01-21 à 19:28

Dans mon pays (côte d'Ivoire), nous n'utilisons pas ce genre de calculette .

Posté par
diracre : Étude de fonction 2 10-01-21 à 21:01

Pas de souci, quand j'étais en Terminale, les calculettes n'existaient pas ...

Je répondais à ta question d'une autre méthode.

Je t'encourage, puisque tu as accès à internet, à utiliser des outils tels que Geogebra (qui existe dans une version "cloud") pour conjecturer. Cela te servira assurément dans le supérieur


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