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Etude de fonction

Posté par
the0779
03-12-20 à 01:36

Bonjour,
Pouvez-vous m'aider concernant l'étude des branches infinies de la limite suivante, je vous rédige l'énoncé ci-dessous :
On considère la fonction définie par f(x)=[(ln(x+1))/(x+1)]
1°) Déterminer Df et Df'
2°) Etudier les branches infinies aux bords de Df, interpréter géométriquement les résultats. (ex: asymptôte horizontale, branche parabolique, etc.)
3°) Etudier les variations de f (tangentes comprises) (dresser les tableaux of course)
4°) Tracer Cf.

Voici ce que j'ai fais pour le moment :
1°) Df={]0;+infini[/x+1>0 et x+1différent de 0}
Donc x+1>0 si x>-1 et x+1 différent de 0 si x différent de -1
D'où Df=]-1;+infini[ et Df=Df'.

2°) Pour la limite quand x tend vers -1+ , je n'arrive pas à savoir, et en +infini :
On pose X=x+1, d'où lim ln(x+1)/(x+1) quand x tend vers +infini = lim lnX/X quand X tend vers + infini = 0.
Donc la droite d'équation y=0 est une asymptote horizontale de Cf au voisinage de + infini.

3°) f est de la forme u/v avec u(x) = ln(x+1), u'(x) = 1/(x+1), v(x) = x+1 et v'(x) = 1
f' est donc de la forme (u'v-uv')/v^2 = [1/(x+1).(x+1)-ln(x+1)]/(x+1)^2
= [1-ln(x+1)]/(x+1)^2

Signe de f' ne dépend donc que du signe de 1-ln(x+1) car (x+1)^2 est toujours positif:
f'(x)=0 ssi 1-ln(x+1)=0 ssi ln(x+1)=1  donc ssi x+1=e   soit ssi x=e-1
f'(x)>0 si x<e-1 et f'(x)<0 si x>e-1

On peut dresser le tableau de variation de f :

x      -1                                            e-1                                 +oo

f'(x)  II................+......................0................-......................  
        
f(x)    II??.......croi..............1/e .......décroi............0

f(e-1) = ln(e-1+1)/(e-1+1) = ln(e)/e = 1/e
Cf admet également une tangente horizontale au point e-1.

4°) Je n'ai besoin plus que de connaître la limite en -1+ afin de déterminer de quelle branche infinie il s'agit pour tracer Cf.

Merci beaucoup de votre aide !
Merci beaucoup !!

* modération > le niveau a été modifié  en fonction du profil renseigné *

Posté par
verdurin
re : Etude de fonction 03-12-20 à 06:57

Bonjour,
sauf erreur de ma part tes résultats sont justes.

Pour la limite en -1 tu peux regarder

\lim_{x\to-1^+}\ln(x+1)\text{ et }\lim_{x\to-1^+}\frac1{x+1}

puis faire le produit ( ce n'est pas une forme indéterminée ).

Posté par
the0779
re : Etude de fonction 03-12-20 à 07:06

D'accord merci, je n'y avais pas pensé c'était pourtant évident !

Posté par
verdurin
re : Etude de fonction 03-12-20 à 07:14

Service

Posté par
the0779
re : Etude de fonction 03-12-20 à 10:32

Quelle est la limite de ln(x+1) en -1+, je ne suis pas sûr de moi ?

Posté par
malou Webmaster
re : Etude de fonction 03-12-20 à 11:37

Bonjour à tous les deux
the0779, à toi de proposer, et on te répondra si c'est juste ...

Posté par
the0779
re : Etude de fonction 03-12-20 à 14:12

Pour moi, ln(x+1) quand x tend vers -1+ = -infini

Posté par
malou Webmaster
re : Etude de fonction 03-12-20 à 18:20

c'est juste

Posté par
the0779
re : Etude de fonction 03-12-20 à 18:47

Super merci

Posté par
malou Webmaster
re : Etude de fonction 03-12-20 à 18:48

Je t'en prie
Prends confiance en toi,tu savais le faire !

Posté par
the0779
re : Etude de fonction 03-12-20 à 19:22

^^

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