Bonjour,
Pouvez-vous m'aider concernant l'étude des branches infinies de la limite suivante, je vous rédige l'énoncé ci-dessous :
On considère la fonction définie par f(x)=[(ln(x+1))/(x+1)]
1°) Déterminer Df et Df'
2°) Etudier les branches infinies aux bords de Df, interpréter géométriquement les résultats. (ex: asymptôte horizontale, branche parabolique, etc.)
3°) Etudier les variations de f (tangentes comprises) (dresser les tableaux of course)
4°) Tracer Cf.
Voici ce que j'ai fais pour le moment :
1°) Df={]0;+infini[/x+1>0 et x+1différent de 0}
Donc x+1>0 si x>-1 et x+1 différent de 0 si x différent de -1
D'où Df=]-1;+infini[ et Df=Df'.
2°) Pour la limite quand x tend vers -1+ , je n'arrive pas à savoir, et en +infini :
On pose X=x+1, d'où lim ln(x+1)/(x+1) quand x tend vers +infini = lim lnX/X quand X tend vers + infini = 0.
Donc la droite d'équation y=0 est une asymptote horizontale de Cf au voisinage de + infini.
3°) f est de la forme u/v avec u(x) = ln(x+1), u'(x) = 1/(x+1), v(x) = x+1 et v'(x) = 1
f' est donc de la forme (u'v-uv')/v^2 = [1/(x+1).(x+1)-ln(x+1)]/(x+1)^2
= [1-ln(x+1)]/(x+1)^2
Signe de f' ne dépend donc que du signe de 1-ln(x+1) car (x+1)^2 est toujours positif:
f'(x)=0 ssi 1-ln(x+1)=0 ssi ln(x+1)=1 donc ssi x+1=e soit ssi x=e-1
f'(x)>0 si x<e-1 et f'(x)<0 si x>e-1
On peut dresser le tableau de variation de f :
x -1 e-1 +oo
f'(x) II................+......................0................-......................
f(x) II??.......croi..............1/e .......décroi............0
f(e-1) = ln(e-1+1)/(e-1+1) = ln(e)/e = 1/e
Cf admet également une tangente horizontale au point e-1.
4°) Je n'ai besoin plus que de connaître la limite en -1+ afin de déterminer de quelle branche infinie il s'agit pour tracer Cf.
Merci beaucoup de votre aide !
Merci beaucoup !!
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Bonjour,
sauf erreur de ma part tes résultats sont justes.
Pour la limite en -1 tu peux regarder
puis faire le produit ( ce n'est pas une forme indéterminée ).
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