Bonjour que vous vérifiez ce que j'ai fais svp.

Exercice :

Soit la fonction f_k définie sur R par :



où k est un réel positif ou nul.

Dans le repère orthonormal de centre O ci-dessous , on a représenté les droites (D) d'équation y=x-1 et (D') d'équation y=x+1 , la courbe représentative (C₁) de f₁ et deux autres courbes représentatives de f_k : (C) passant par A(1 ; 1/3) et (C') passant par B(1 ; 5/3).

1) Déterminer les limites de f_k en +oo et en -oo

2) Justifier que , pour réel tout k≥0 , la droite (D') est tangente à la courbe représentative de f_k.

3) Déterminer le réel k associé à (C) et celui associé à (C').

4) a) Justifier que , pour tout x réel , on a :

et

b) En déduire pour tout k strictement positif :

_ La position de la courbe (C_k) par rapport aux droites (D) et (D')

_ Les asymptotes de la courbe (C_k)

5) On fait tendre k vers +oo.
Vers quelle fonction f_k va-t-elle se rapprocher .

Réponses :

1) Limite de f_k en +oo
et en -oo



2)
Equation de la tangente à (C_k) au point d'abscisse 0.

y=f_k'(0)(x-0)+f_k(0)



y=1(x-0)+1
y=x+1

(D') est tangente à (C_k) au point d'abscisse 0.

3)
*Réel k associé à (C)

(C)  passe par A(1 ; 1/3)



*Réel k associé à (C')



4-a)



b)



(C_k) est au dessus de (D) et en dessous de (D').



La droite (D) est asymptote oblique a (C_k) en +oo et en -oo

5)
Quand k tend vers +oo ,1+kx² tend vers +oo => 2/(1+kx²) tend vers 0 donc

f_k(x) tend vers x-1