Inscription / Connexion Nouveau Sujet

1 2 +


Niveau terminale
Partager :

étude de fonction (fonction logarithme)

Posté par
bich76ette
11-02-22 à 11:33

Bonjour,
Je bloque sur ce devoir un peu long je vous l'avoue. Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ? Merci par avance.

La courbe (C) représente, dans un repère orthonormé, une fonction f définie et dérivable sur une partie de son ensemble de définition. Les points A (1;3) et B d'abscisse 2 sont sur la courbe (C).
Les tangentes à la courbe (C) aux points A et B sont aussi représentées en pointillés sur ce graphique. On note f' la fonctione dérivée de f.

PARTIE A :
1) Déterminer graphiquement f'(2)
2) La tangente à la courbe (C) passant par A passe par le point de coordonnées (0;1). Déterminer une équation de cette tangente.
3) Déterminer graphiquement la convexité de la fonction f sur l'intervalle représenté. Argumenter la réponse.

PARTIE B :
On admet que la fonction f est définie par f(x) = -2x + 5 + 3ln(2x-1)

1) Déterminer l'ensemble de définition I de la fonction f.
2) Déterminer lim f(x)
                               x->0,5+
3)a. Factoriser f(x) par 2x-1
    b. En utilisant cette écriture factoriser, et en faisant appel à un croissance comparée, déterminer lim f(x)
x-> +infini
4) Pour tout réel x de I, calculer f'(x) et montrer que f'(x) = (-4x + 8) ÷ (2x-1)
5) Étudier le signe de f' sur I puis dresser le tableau de variation complet de f sur I.
6)a. Montrer que l'équation f(x)=0 admet exactement deux solutions alpha et beta sur I.
    b. En utilisant la calculatrice, donner une valeur approchée de alpha et de beta à 10^-2 près. Expliquer votre démarche.
7) En utilisant l'expression f''(x), justifier la conjecture émise en partie A concernant la convexite de la fonction f sur I.


•Pour la 1ère question de la partie A j'ai trouver f'(2) = 0
•Pour la 2ème question j'ai juste repris l'équation d'une tangente c'est à dire y = f'(a) (x-a) + f(a)
•Pour la question 3)a. de la partie B j'ai commencer mais je crois que je pars dans la mauvaise direction :
f(x) = (2x-1) (-1 - 5 + 3ln)
         = (2x-1) ( -6 + 3ln)
         = -12x + 3ln(2x) + 6 - 3ln

Posté par
malou Webmaster
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 11:38

Bonjour
mets nous ton graphique

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q05 - Puis-je insérer une image dans mon message ? Comment faire ? Quelle image est autorisée ?


Posté par
bich76ette
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 11:48

Je l'avais mis pourtant, je vais essayer de le remettre en espérant que ça fonctionne.

étude de fonction (fonction logarithme)

Posté par
bich76ette
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 11:49

*modération* >citation inutile supprimée*

Posté par
hekla
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 11:53

Bonjour

pour f'(2) d'accord
pour la tangente en A1  il faut écrire l'équation d'une droite passant par 2 points.  Vous ne pouvez pas utiliser cette formule sauf pour donner  f'(1)

La courbe en un peu plus grand.

étude de fonction (fonction logarithme)

Posté par
bich76ette
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 11:57

Je cherche le coefficient directeur avec 2 points ?

Posté par
hekla
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 12:01

On ne peut avoir un \ln tout seul !

f(x)=\dfrac{2x-1}{2x-1} f(x)


Que vaut \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln X}{X}
 \\ 
 \\

Posté par
hekla
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 12:03

Oui
 m=\dfrac{y_D-y_A}{x_D-x_A} avec D(0~;~-1)

Posté par
bich76ette
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 12:56

lim ln(x)÷ x = 0
x->+infini    
Mais c'est pour quelle question ça ?

Posté par
hekla
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 13:06

3 a) vous factorisez,   vous obtenez un \dfrac{\ln X}{X}
 \\
donc en 3)b  vous l'appliquez

Posté par
bich76ette
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 13:29

Ah ok merci ! Et pour les autres questions ?

Posté par
hekla
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 13:43

4, 5) c'est le b a ba  de l'étude de fonction

4 ) dérivée 5 ) signe de la dérivée application au sens de variation

6) TVI  sur 2 intervalles

7)  dérivée seconde et signe

Je ne vais plus pouvoir répondre avant 17 h

Posté par
bich76ette
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 17:45

J'ai beaucoup de mal avec la fonction ln malgré le cours et les exercices que j'ai pu avoir et faire.

Posté par
hekla
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 17:51

Dites ce qui vous pose problème.
Où en êtes-vous ?  Avez-vous réussi la question 3 ?

Posté par
bich76ette
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 17:59

Déjà pour la partie A, la question 2) j'ai y = 4x -1  

Posté par
bich76ette
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 18:02

La question 3) la fonction est concave

Posté par
hekla
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 18:10

Question 2  oui, on a bien y=4x-1 pour l'équation de la tangente en A.

Question 3 comme ce n'est qu'une conjecture,  la fonction semble concave sur l'intervalle de définition.

Posté par
bich76ette
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 18:22

Je n'ai pas besoin de donner plus d'arguments ?

Posté par
hekla
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 18:26

Si d'ailleurs on vous le demande.
Courbe en dessous de ses tangentes

Posté par
bich76ette
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 18:54

Ah oui c'est vrai ! Merci.
Pour la partie B, la question 1) I appartenant à R et ensuite je bloque à cause de la fonction ln.

Posté par
hekla
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 18:57

Non l'ensemble de définition n'est pas \R

On ne peut prendre le logarithme d'un nombre négatif

On sait que \displaystyle  \lim_{x\to 0}\ln x=-\infty

Posté par
bich76ette
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 19:17

Je l'ai vu en plus, c'est ] 0 ; +infini [.
Du coup on a lim f(x) = -infini, par somme

Posté par
hekla
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 19:22

Ensemble de définition  2x-1 >0 \iff  x>-0,5

Donc ensemble de définition à corriger

\displystyle \lim_{\stackrel{x\to 0,5}{x>0,5}}f(x)=-\infty

Posté par
hekla
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 19:22

lire 0,5 il n'y a pas de -

Posté par
bich76ette
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 19:35

Je suis désolée, je n'ai pas compris.

Posté par
hekla
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 19:42

On ne peut prendre le logarithme d'un nombre négatif par conséquent on doit avoir 2x-1 strictement positif.

2x-1 >0 \iff  x>0,5 donc \mathcal{D}_f=]0,5~;~+\infty[

C'est bien pour cela que l'on vous demande la limite de f(x) quand x tend vers 0,5 par valeurs supérieures.

Posté par
bich76ette
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 19:59

Ah ok. Merci.

Posté par
hekla
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 20:08

Question 3 alors ?

Posté par
bich76ette
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 20:21

Honnêtement je ne sais pas trop même en ayant ln(x)÷x

Posté par
hekla
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 20:33

On vous a donné une indication, car ce n'est pas évident d'y penser.

On met 2x-1 en facteur

f(x)=(2x-1)\left(\dfrac{-2x+5+3 \ln 2x-1}{2x-1}\right)= (2x-1){\left(\dfrac{-2x+5}{2x-1}+\dfrac{3 \ln 2x-1}{2x-1}\right)

\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{-2x+5}{2x-1}= \qquad \lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln (2x-1)}{2x-1}=

Maintenant que l'on a bien décomposé, il faut remonter

\displaystyle \lim_{x\to +\infty}(2x-1)\left(\dfrac{-2x+5+3 \ln 2x-1}{2x-1}\right)=

Posté par
bich76ette
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 20:53

Je ne comprend pas la factorisation et la disparition du 3ln.

Posté par
hekla
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 21:01

Lorsque vous avez 3x+1 et que vous voulez mettre 3 en facteur, vous faites

 3\left(\dfrac{3x+1}{3}\right) =3\left(\dfrac{3x}{3}+\dfrac{1}{3}\right)=3\left(x+\dfrac{1}{3}\right) même si vous n'écrivez pas tout.  C'est ce que j'ai fait.

Le 3 n'étant pas utile pour le calcul de la limite je ne l'ai pas écrit et ensuite 3\times 0 est toujours égal à 0.

Posté par
bich76ette
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 21:25

J'avais complètement oublié cette règle ! Ensuite pour la première limite on  a une FI il me semble, infini sur infini donc je factorise par x donc x ( -2 + 5/x ) / x ( 2 - 1/x ) ; les x se simplifie on a alors la limite du numérateur quand x tend vers +infini égal a-2 et la limite du dénominateur quand x tend vers +infini égale a 2 donc la première limite tend vers -1. Et pour la deuxième limite on a du ln(x)/x = 0 quand x tend vers +infini.

Posté par
hekla
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 21:30

Bien donc la grande parenthèse tend vers             quand x tend vers +\infty  et par suite f(x) tend vers         quand x tend vers +\infty

vous auriez pu mettre 2x en facteur, cela aurait été plus vite

Posté par
bich76ette
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 21:53

la grande parenthèse tend vers -1 quand x tend vers +infini et par suite f(x) tend vers +infini quand x tend vers +infini, par produit.
Oui c'est vrai je n'y ai pas pensé, j'ai été habitué à prendre que le x ou x avec sa puissance.

Posté par
hekla
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 21:57

Attention -\times +=-

La grande parenthèse tend bien vers -1 quand x tend vers +\infty mais 2x-1 tend vers +\infty

donc le produit tend vers -\infty

la courbe avait plutôt l'air de descendre

Posté par
bich76ette
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 22:12

Bien sûr, erreur d'inattention !

Posté par
hekla
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 22:17

Mais je n'ai pas dit le contraire

 \left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}

4)dérivée de f  ?

Posté par
bich76ette
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 22:19

Pour la question 4, la dérivée de 3ln(2x-1) c'est avec la dérivée de xln(x)

Posté par
hekla
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 22:22

3 est une constante  

quand vous avez 3 x vous ne considérez pas avoir x x

Posté par
bich76ette
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 22:26

Donc je suis avec la dérivée de ln(x-y)

Posté par
hekla
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 22:31

On pose u(x)=2x-1 donc u'(x)=

 f'(x)=2+3\times\dfrac{u'(x)}{u(x)}

Posté par
bich76ette
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 22:47

u'(x) = 2
Donc f'(x) = -2 + 3 × 2÷(2x-1)
                       = -2 + 6÷(2x-1)
                       = (-4x+2+ 6) ÷ (2x-1)
                       = (-4x+8) ÷ (2x-1)

Posté par
hekla
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 22:53

Oui désolé j'avais oublié un signe -

  f'(x)=\dfrac{-4(x-2)}{2x-1}

Quel est le signe de f'(x) ?

Vous me dites quand vous voudrez arrêter. On peut finir ce soir

Posté par
bich76ette
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 23:03

-4(x-2) c'est négatif et pour 2x-1 c'est positif sur ]0,5 ; + infini[
Donc sur ]0,5 ; +infini[ le signe est négatif.
Je pense qu'on continuera demain si cela vous convient.

Posté par
hekla
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 23:07

Je vous l'avais mis sous cette forme pour bien montrer qu'elle s'annulait en 2 ainsi que vous l'aviez dit dans la partie A.

Quelle heure  ?  

Posté par
bich76ette
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 23:12

Je suis complètement perdue...
Vers 10h je pense.

Posté par
hekla
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 23:15

D'accord
  Dormez bien

Posté par
bich76ette
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 23:34

Je viens de revoir le graphique et forcement ça s'annule en 2, donc les signes de f'(x) sont : positif sur ]0,5; 2[ et négatif sur ]2;+infini[. Car - ÷ + = - et + ÷ + = +
Merci vous aussi.

Posté par
hekla
re : étude de fonction (fonction logarithme) 11-02-22 à 23:56

Oui, mais on reprendra cela demain matin  à tête reposée

Bonsoir

1 2 +




Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1580 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !