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étude de fonction (fonction logarithme)
Bonjour,
Je bloque sur ce devoir un peu long je vous l'avoue. Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ? Merci par avance.
La courbe (C) représente, dans un repère orthonormé, une fonction f définie et dérivable sur une partie de son ensemble de définition. Les points A (1;3) et B d'abscisse 2 sont sur la courbe (C).
Les tangentes à la courbe (C) aux points A et B sont aussi représentées en pointillés sur ce graphique. On note f' la fonctione dérivée de f.
PARTIE A :
1) Déterminer graphiquement f'(2)
2) La tangente à la courbe (C) passant par A passe par le point de coordonnées (0;1). Déterminer une équation de cette tangente.
3) Déterminer graphiquement la convexité de la fonction f sur l'intervalle représenté. Argumenter la réponse.
PARTIE B :
On admet que la fonction f est définie par f(x) = -2x + 5 + 3ln(2x-1)
1) Déterminer l'ensemble de définition I de la fonction f.
2) Déterminer lim f(x)
x->0,5+
3)a. Factoriser f(x) par 2x-1
b. En utilisant cette écriture factoriser, et en faisant appel à un croissance comparée, déterminer lim f(x)
x-> +infini
4) Pour tout réel x de I, calculer f'(x) et montrer que f'(x) = (-4x + 8) ÷ (2x-1)
5) Étudier le signe de f' sur I puis dresser le tableau de variation complet de f sur I.
6)a. Montrer que l'équation f(x)=0 admet exactement deux solutions alpha et beta sur I.
b. En utilisant la calculatrice, donner une valeur approchée de alpha et de beta à 10^-2 près. Expliquer votre démarche.
7) En utilisant l'expression f''(x), justifier la conjecture émise en partie A concernant la convexite de la fonction f sur I.
•Pour la 1ère question de la partie A j'ai trouver f'(2) = 0
•Pour la 2ème question j'ai juste repris l'équation d'une tangente c'est à dire y = f'(a) (x-a) + f(a)
•Pour la question 3)a. de la partie B j'ai commencer mais je crois que je pars dans la mauvaise direction :
f(x) = (2x-1) (-1 - 5 + 3ln)
= (2x-1) ( -6 + 3ln)
= -12x + 3ln(2x) + 6 - 3ln
Bonjour
mets nous ton graphique
extrait de 
la FAQ du forum :Q05 - Puis-je insérer une image dans mon message ? Comment faire ? Quelle image est autorisée ?
Bonjour
pour f'(2) d'accord
pour la tangente en A1 il faut écrire l'équation d'une droite passant par 2 points. Vous ne pouvez pas utiliser cette formule sauf pour donner
La courbe en un peu plus grand.
4, 5) c'est le b a ba de l'étude de fonction
4 ) dérivée 5 ) signe de la dérivée application au sens de variation
6) TVI sur 2 intervalles
7) dérivée seconde et signe
Je ne vais plus pouvoir répondre avant 17 h
J'ai beaucoup de mal avec la fonction ln malgré le cours et les exercices que j'ai pu avoir et faire.
Question 2 oui, on a bien pour l'équation de la tangente en A.
Question 3 comme ce n'est qu'une conjecture, la fonction semble concave sur l'intervalle de définition.
Ah oui c'est vrai ! Merci.
Pour la partie B, la question 1) I appartenant à R et ensuite je bloque à cause de la fonction ln.
Non l'ensemble de définition n'est pas
On ne peut prendre le logarithme d'un nombre négatif
On sait que
On ne peut prendre le logarithme d'un nombre négatif par conséquent on doit avoir strictement positif.
donc
C'est bien pour cela que l'on vous demande la limite de quand
tend vers 0,5 par valeurs supérieures.
On vous a donné une indication, car ce n'est pas évident d'y penser.
On met en facteur
Maintenant que l'on a bien décomposé, il faut remonter
Lorsque vous avez et que vous voulez mettre 3 en facteur, vous faites
même si vous n'écrivez pas tout. C'est ce que j'ai fait.
Le 3 n'étant pas utile pour le calcul de la limite je ne l'ai pas écrit et ensuite est toujours égal à 0.
J'avais complètement oublié cette règle ! Ensuite pour la première limite on a une FI il me semble, infini sur infini donc je factorise par x donc x ( -2 + 5/x ) / x ( 2 - 1/x ) ; les x se simplifie on a alors la limite du numérateur quand x tend vers +infini égal a-2 et la limite du dénominateur quand x tend vers +infini égale a 2 donc la première limite tend vers -1. Et pour la deuxième limite on a du ln(x)/x = 0 quand x tend vers +infini.
Bien donc la grande parenthèse tend vers quand x tend vers et par suite
tend vers quand
tend vers
vous auriez pu mettre en facteur, cela aurait été plus vite
la grande parenthèse tend vers -1 quand x tend vers +infini et par suite f(x) tend vers +infini quand x tend vers +infini, par produit.
Oui c'est vrai je n'y ai pas pensé, j'ai été habitué à prendre que le x ou x avec sa puissance.
Attention
La grande parenthèse tend bien vers quand
tend vers
mais
tend vers
donc le produit tend vers
la courbe avait plutôt l'air de descendre
Oui désolé j'avais oublié un signe
Quel est le signe de ?
Vous me dites quand vous voudrez arrêter. On peut finir ce soir
-4(x-2) c'est négatif et pour 2x-1 c'est positif sur ]0,5 ; + infini[
Donc sur ]0,5 ; +infini[ le signe est négatif.
Je pense qu'on continuera demain si cela vous convient.
Je vous l'avais mis sous cette forme pour bien montrer qu'elle s'annulait en 2 ainsi que vous l'aviez dit dans la partie A.
Quelle heure ?
Je viens de revoir le graphique et forcement ça s'annule en 2, donc les signes de f'(x) sont : positif sur ]0,5; 2[ et négatif sur ]2;+infini[. Car - ÷ + = - et + ÷ + = +
Merci vous aussi.
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