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Étude de fonction ln.

Posté par
matheux14
29-01-21 à 01:57

Bonjour ,

Merci d'avance.

On considère la fonction f définie sur [0 ;+ ∞[ par : \begin{cases} f(x)=xln\left(1+\dfrac{1}{x²}\right)~ \text{si} ~ x > 0 \\  f(0)=0 \end{cases}

Partie A

On considère la fonction g dérivable sur ]0 ;+∞[ et définie par g(x)=ln\left(1+\dfrac{1}{x²}\right)-\dfrac{2}{x²+1}.

1) Déterminer les limites de g en 0 et en +∞.

2-a) Démontrer que \forall x \in ]0 ;+\infty[ , g'(x)=\dfrac{2(x²-1)}{x(x²+1)²}

b) Dresser le tableau de variation de g.

3-a) Démontrer qu'il existe un unique nombre réel α > 0 tel que g(α) =0

3-b) Vérifier que 0,5 < α < 0,6.

4) Démontrer que \forall x \in ]0 ;\alpha[ , g(x) > 0 et \forall x \in ]\alpha ;+\infty[ , g(x) < 0.

Partie B

1) Étudier la continuité de f en 0.

2-a) Étudier la dérivabilité de f en 0.

2-b) Donner une interprétation graphique de ce résultat.

3) Déterminer la limite de f en +∞.

4) On admet que f est dérivable sur ]0 ;+∞[

a) Démontrer que f est un primitive de g sur ]0 ;+∞[.

b) Étudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variation.

5-a) Justifier que \forall x \in [0,5 ;\alpha[ , on a 0 ≤ f'(x) ≤ f'(0,5).

5-b) En déduire que :

0 ≤ f(α) -f(0,5) ≤ (α-0,5)f'(0,5) puis que 0 ≤ f(α)-f(0,5) ≤ 1/10 ×f'(0,5).

c) En déduire une valeur approchée de f(α) à 10-3 près.

6) Tracer (Cf) dans un repère orthonormé (O ; I ; J) d'unité 5 cm.

7-a) Démontrer que la restriction h de f à l'intervalle [α ;+∞[ que l'on précisera .

b) Calculer h(1).

c) Démontrer que la bijection réciproque h-1 de h est dérivable en ln2 et calculer (h-1)'(ln2).

Je n'arrive pas à débloquer la limite en 0 de g(x).

Comment est ce que je devrais faire ?

Posté par
malou Webmaster
re : Étude de fonction ln. 29-01-21 à 08:36

Bonjour matheux14


A1) mais elle n'est pas du tout indéterminée cette limite, qu'est ce que tu as bien pu faire ?
regarde déjà la limite en 0 de \dfrac{2}{x²+1}
....

Posté par
matheux14
re : Étude de fonction ln. 29-01-21 à 19:28

\lim_{x\to0}g(x)=\lim_{x\to0}ln\left(1+\dfrac{1}{x²}\right)-\dfrac{2}{x²+1}

*On a \lim_{x\to0}\left(1+\dfrac{1}{x²}\right)=+\infty et \lim_{x\to0}\text{ln}~x=-\infty donc \lim_{x\to0}ln\left(1+\dfrac{1}{x²}\right)=+\infty

Et \lim_{x\to0}\dfrac{2}{x²+1}=2

Donc \lim_{x\to0}g(x)=\lim_{x\to0}ln\left(1+\dfrac{1}{x²}\right)-\dfrac{2}{x²+1}=+\infty

Posté par
malou Webmaster
re : Étude de fonction ln. 29-01-21 à 19:53

ben oui, tout simplement

Posté par
matheux14
re : Étude de fonction ln. 02-02-21 à 15:48

Pour la limite en +\infty je trouve 0.

Et au niveau de la question 2-a) J'ai un petit souci.

Je trouve g'(x)=-\dfrac{2}{x³+x}+\dfrac{4x}{(x²+1)²}

En développant j'arrive à g'(x)=\dfrac{-2(x²+1)²+4x(x³+x)}{(x³+x)(x²+1)²}

Je ne vois pas vraiment comment arriver à g'(x)=\dfrac{2(x²-1)}{x(x²+1)²}

Alors j'ai calculé g'(9) avec l'expression que j'ai trouvé et g'(9) avec l'expression de l'énoncé et je trouve le même résultat qui est \dfrac{40}{15129}

Posté par
matheux14
re : Étude de fonction ln. 02-02-21 à 15:52

Ah , je crois que j'ai vu , fallait mettre 2 en facteur..

Posté par
matheux14
re : Étude de fonction ln. 02-02-21 à 19:25

Bonsoir , je n'arrive pas à déterminer la limite de f en +∞..

Posté par
matheux14
re : Étude de fonction ln. 02-02-21 à 21:01

Posté par
malou Webmaster
re : Étude de fonction ln. 02-02-21 à 21:06

bonsoir
un dépannage en passant
peut-être faire apparaître \dfrac{\ln (1+\frac{1}{x²})-\ln 1}{\frac{1}{x²}}



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