Bonjour ,

Merci d'avance.

On considère la fonction f définie sur [0 ;+ ∞[ par :

Partie A

On considère la fonction g dérivable sur ]0 ;+∞[ et définie par .

1) Déterminer les limites de g en 0 et en +∞.

2-a) Démontrer que ,

b) Dresser le tableau de variation de g.

3-a) Démontrer qu'il existe un unique nombre réel α > 0 tel que g(α) =0

3-b) Vérifier que 0,5 < α < 0,6.

4) Démontrer que , g(x) > 0 et , g(x) < 0.

Partie B

1) Étudier la continuité de f en 0.

2-a) Étudier la dérivabilité de f en 0.

2-b) Donner une interprétation graphique de ce résultat.

3) Déterminer la limite de f en +∞.

4) On admet que f est dérivable sur ]0 ;+∞[

a) Démontrer que f est un primitive de g sur ]0 ;+∞[.

b) Étudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variation.

5-a) Justifier que , on a 0 ≤ f'(x) ≤ f'(0,5).

5-b) En déduire que :

0 ≤ f(α) -f(0,5) ≤ (α-0,5)f'(0,5) puis que 0 ≤ f(α)-f(0,5) ≤ 1/10 ×f'(0,5).

c) En déduire une valeur approchée de f(α) à 10^-3 près.

6) Tracer (Cf) dans un repère orthonormé (O ; I ; J) d'unité 5 cm.

7-a) Démontrer que la restriction h de f à l'intervalle [α ;+∞[ que l'on précisera .

b) Calculer h(1).

c) Démontrer que la bijection réciproque h^-1 de h est dérivable en ln2 et calculer (h^-1)'(ln2).

Je n'arrive pas à débloquer la limite en 0 de g(x).

Comment est ce que je devrais faire ?