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Niveau école ingénieur
Etude de fonctions hyperboliques
Posté par Souzana
Bonjour à tous,
Je suis actuellement en école d'ingénieur informatique et industriel et j'ai la chance de pouvoir me rattraper sur l'exam de maths que j'ai raté au mois de janvier.
J'essaye de refaire et de comprendre mes exercices, mais je bloque depuis une bonne heure... Quelqu'un pourrai t-il m'aider?
Voici l'énoncé:
Etudier les fonctions suivantes (domaine de définition, domaine de représentation, domaine d'étude, valeur aux bornes, dérivée/tableau de variations, représentation graphique) :
y_1=ln(ch(x)) ; y_2=th((1-x)/(1+x)) ; y_3=x-ln(ch(x)) ; y_4=th(1/x)
Voilà ce que j'ai fait, pas grand chose mais bon ^^ :
y1= ln( chx )
*domaine de définition: ln(x) -> x 
]0;+
[ et ch(x) -> x 
*domaine de représentation: je n'ai rien fait, je bloque ^^! Ah si, j'ai juste mis que ch [1;+[ c'est tout ^^
Mon professeur a mis: y=ln( chx ) x y +
Mon problème c'est que je me demande, comment il sait (sans calculatrice graphique) que y est représentée sur R+ :/
Quelqu'un a la réponse ? ^^
Merci d'avance 
!
PS: Du coup pour les autres fonctions non plus je ne sais pas. J'en parlerai après 
la fonction ln demande à s'appliquer aux réels > 0
pour ln(ch(x)) il faut donc que ch(x) > 0 ( et pas x > 0)
Ensuite, ton prof connait très bien les fonctions de références et sait que
ch : -----> [1; +[
ln : ]0:+[ ------>
Comme ch(x) 
1, alors ln(ch(x)) existe toujours donc ta fonction est définie pour tout x
De plus,
comme ch(x) 1 et que la fonction ln est croissante , alors ln(ch(x)) ln(1) = 0
La conclusion est donc que ta fonction y1 est définie sur et à valeurs dans + = [0;+[
Ah d'accord! Merci beaucoup
Et donc pour y2, vu que (1-x)/(1+x) est privée de -1, th(1-x/1+x) n'existe pas lorsque x=-1 et donc ma fonction est définie pour tout x appartenant à privé de -1?
pour la fonction y2 (comme pour les autres) le principe est le suivant ...
il y a : th et une fraction
la fonction th n'impose rien
la fraction impose : le dénominateur 
0
donc (1+x) 0
il n'y a que 3 "interdits" en math
le dénominateur 0
la fonction ln ne s'applique qu'aux termes > 0
les fonctions racines (et puissances réelles) ne s'appliquent qu'aux termes 0
la fonction tan = sin / cos utilise la règle n°1
Ok, donc le domaine de définition de y2 c'est x th n'impose rien, comme vous l'avez dit.
Son domaine de représentation: (1-x)/(1+x) > -1 donc th((1-x)/(1+x))>th(-1) or th ]-1;1[ donc y2 ]-1;1[ ?
Je sais pas si mes déductions sont bonnes?
NON !!! le domaine de définition de y2 est ]-;-1[ 
]-1;+[ car il faut x-1 à cause du dénominateur (1+x)
comme (1-x)/(1+x) décrit (à peu près) et que la fonction th est à valeurs dans ]-1;+1[
alors y2 est définie sur ]-;-1[ ]-1;+[ et à valeurs dans ]-1;+1[
Ah ok ok ok, je comprend mieux ^^, je suis bête aussi, je n'ai pas suivi vos indications 
Bon j'écris tout ça et je passe à y3.
Pour y1 je dois encore écrire les valeurs aux bornes:
Pour 0 je trouve ln(ch(0))=ln(1)=0
Pour + , je dois faire la limite, on peut dire que :
lim (x->+) ln(chx) = ln(ex/2) ? car lim(x->+inf) ch(x)=lim ex/2=+
je suppose (en fait, j'en suis sur) que les "bornes" sont les bornes du domaine de définition ...
donc pour y1, tu dois calculer deux limites !!! la première en - et la deuxième, en +
limx->- y2 = ln(ch(-)) = ln(+) = +
limx->+ y2 = ln(ch(+)) = ln(+) =+
Je sais, l'écriture est interdite mais elle permet de bien calculer ses limites... le reste n'est que respect des contraintes d'écriture.
Ça, c'est ce que le professeur a écrit, mais je ne vois pas pourquoi on ne peut pas simplement écrire que la limite de y2 est égale à +inf, sachant que la limite de ch(x) tend vers + infini ? :/
C'est peut-être mal écrit, mais c'est pour vous montrer ce que j'imagine ^^:
lim (u->+inf) ln(ch(u)) = lim (x->+inf) ln(x) = +infini (avec x=ch(u) ) car lim (u->+inf) ch(u)= +inf
Oui voilà c'est ce que j'avais écrit au départ, mais j'ai effacé ^^
D'accord, mon prof a écrit "branche infinie" pour 
et a ensuite écrit "deux possibilités : *lim(x->+inf) y(x)/x
* on recherche une fonction équivalente quand x tend vers l'infini"
Ah oui je viens de comprendre, il écrit ces deux possibilités, juste pour avoir une valeur proche de l'asymptote oblique, qui ici est de -ln(2)+x, c'est bien ça ?
D'accord, merci ^^.
Et juste pour tester, s'il fallait utiliser la première possibilité pour déterminer la
Oops, fausse manip'
Je disais, s'il fallait utiliser la première possibilité pour déterminer la valeur de l'asymptote, donc utiliser lim (x->) y(x)/x, il faudrait faire comment?
Déjà je n'arrive pas à déterminer la limite de ln(chx)/x quand x tend vers + :/
Ah, il faut peut-être utiliser un changement de variable?
Ah c'est pas grave, vous m'avez bien aidé, merci ^^
J'espère vous retrouver demain ou un autre jour
Bonne soirée!
Bonjour à tous,
J'ai posté ce message hier, j'ai fait les fonctions y1 y2 et y4, mais pour y3, je bloque un peu, pourrait-on m'aider s'il vous plaît ^^?
Pour le domaine de définition, je pense que c'est car x est définie sur et ln(chx) aussi, seulement je sais pas si mes déductions sont bonnes :s
Pour le domaine de représentation, là je sais pas, ln(chx) est représenté sur + et x sur , là je sais pas quoi en déduire?
Merci par avance, pour votre soutien!
le domaine de représentation c'est juste le demi plan y>=0
pour la limite de ln(ch x)/x l'idée est de mettre en facteur e^x dans chx
on obtient
et on développe ln(1+u) avec qui tend vers 0
c'est uniquement quand x tend vers plus l'infini
pour moins l'infini il faut faire une démarche analogue en inversant les rôles des deux exponentielles
ou plus simplement utilisé la parité
D'accord, merci.
Pour la limite, j'ai bien trouvé ce résultat, mais qu'est-ce que vous appelez "développer ln(1+e-2x)" ?
Regardez, http://www.wolframalpha.com/input/?i=x-ln%28cosh%28x%29%29 la fonction est représentée sur et non + :/
"développer ln(1+e-2x)"
c'est faire un développement limité en
Pour le domaine de représentation je croyais que tu étudiais juste ln(ch x)
pour x-ln(ch x) il suffit de faire un tableau de variation complètement rempli, après étude de toutes les limites pour savoir tracer le graphe
J'ai encore un petit souci, je suis maintenant arrivée au chapitre des fonctions réciproques des fonctions hyperboliques, et je bloque encore.
Il faut étudier la fonction y=cos(Arcsin(x))
Je ne comprend pas pourquoi son domaine de définition c'est [-1;1] et son domaine de représentation [0;1], quelqu'un pourrait me justifier cela s'il vous plaît? 
S'il vous plaît... Si je ne sais pas faire ça, je ne sais pas faire la moitié du DS de rattrapage, et j'ai aucune envie de redoubler mon année, alors s'il vous plaît quelqu'un pourrait me répondre, je suis perdue... 
pour manipuler la fonction arcsin le plus simple est d'expliciter sa définition
y=Arcsin x veut dire sin y =x et
ensuite il est clair que et