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Etude de la fonction f(x) = cos (2x) - 2 cos x

Posté par
justine1607 13-10-11 à 19:54

Bonjour à tous, j'ai un devoir maison à faire, mais je bloque sur l'exercice. Pouvez-vous m'aider ?



Soit f la fonction définie sur R par f(x) = cos (2x) - 2 cos x
1) Démontrer que f est paire et périodique.
2) Calculer f'(x).
3) Etudier le sens de variation de f sur [ 0 ; pi ].
4) Construire la courbe représentant f sur [ - pi ; 3 pi ], dans un repère orthonormal.



Pour l'instant, j'ai trouvé ça :

1) Pour tout x € R, f (-x) = cos ( -2x ) - 2 cos (-x)
                           = cos (2x) - 2 cos x
                           = f (x).
donc f est une fonction paire.

f (x+2pi) = cos ( 2(x+2pi) ) - 2 cos (x + 2pi)
          = cos (2x + 4pi) - 2 cos (x + 2pi)
          = cos 2x - 2 cos x
          = f (x)
donc f est périodique de période 2pi.

Pour la 2) je n'arrive pas à trouver la dérivée. Et pour la 3) J'aimerai quelques explications pour la méthode.

Merci de votre aide

Posté par
pppare : Etude de la fonction f(x) = cos (2x) - 2 cos x 13-10-11 à 20:21

Bonsoir

Q2 Pr dériver cos 2x, on considère qu'on dérive une fonction composée de :

- la fonction cosinus
- la fonction u, telle que u(x) = 2x

dc {cos[u(x)]}' = -sin[u(x)].u'(x)

soit -2.sin(2x)

La dérivée de 2 cos x est plus simple : c'est -2 sin x.

La dérivée d'une somme de fonction est égale à la somme des dérivées des fonctions sommées.
On a dc f'(x) = -2.sin 2x + 2.sin x.

D'accord ?

Posté par
pppare : Etude de la fonction f(x) = cos (2x) - 2 cos x 13-10-11 à 20:30

NB : f est bien 2-périodique, mais ton calcul qui le justifie est erroné

Posté par
justine1607re : Etude de la fonction f(x) = cos (2x) - 2 cos x 13-10-11 à 20:43

d'accord merci beaucoup j'ai compris pour la dérivée.
et en quoi mon calcul pour la période n'est-il pas bon? merciii

Posté par
pppare : Etude de la fonction f(x) = cos (2x) - 2 cos x 13-10-11 à 20:53

Pr l'étude de la périodicité, Il faut écrire : cos(2x+2) = cos 2x.cos 2 -sin 2x sin 2 = cos 2x
et
cos(x+2) = cos x.cos 2 - sin x.sin 2 = =cos x

puisque cos 2 = 1 et sin 2 = 0

Dc cos(2x+2)-2cos(x+2) = cos 2x - 2 cos x = f(x).

Tu as mal posé le 2 , on ne doit pas trouver de valeur avec 4 ds le développement.

D'accord.

Pr la Q3 on peut simplifier l'écriture de f'(x) en posant f'(x) = 2sin x.(1 - 2cos x), en factorisant, sachant que sin 2x  = 2 sin x cos x
Ensuite, on étudie le signe de f' (dc celui de chacun de ses 2 facteurs) sur [0;], de façon à en déduire les variations de f sur cet intervalle.

D'accord ?

Posté par
pppare : Etude de la fonction f(x) = cos (2x) - 2 cos x 13-10-11 à 21:07

\Large\begin{array}{|c|cccccc||}\hline x&0&&\frac{\pi}{3}&&\pi&\\\hline 2 sin x&&+&\frac{\sqrt{3}}{2}&+&&\\\hline 1-2cos x&&-&0&+&&\\\hline Produit&&-&0&+&&\\\hline f(x)&-1&\searrow&-\frac{3}{2}&\nearrow&3& \\\hline\end{array}


Conclusion,f est décroissante sur \rm\left[0;\dfrac{\pi}{3}\right]

et croissante sur \rm\left]\dfrac{\pi}{3};\pi\right]

Posté par
justine1607re : Etude de la fonction f(x) = cos (2x) - 2 cos x 13-10-11 à 21:08

Merci beaucoup, je comprends bien
Pour la Q3 il suffit de faire le tableau ? Comment trouver le signe ?

Posté par
justine1607re : Etude de la fonction f(x) = cos (2x) - 2 cos x 13-10-11 à 21:09

Ah merci beaucoup pour le tableau !!

Posté par
justine1607re : Etude de la fonction f(x) = cos (2x) - 2 cos x 13-10-11 à 21:11

Juste, pour le tableau. Comment on sait qu'il faut mettre pi/3 ? Et comment connaitre les signes?

Posté par
pppare : Etude de la fonction f(x) = cos (2x) - 2 cos x 13-10-11 à 21:15

Il y a juste une petite erreur ds le 2ème ligne de mon tb

Voici le bon (ça ne change rien aux signes non plus qu'aux variations de f)

\Large\begin{array}{|c|cccccc||}\hline x&0&&\frac{\pi}{3}&&\pi&\\\hline 2 sin x&&+&\sqrt{3}&+&&\\\hline 1-2cos x&&-&0&+&&\\\hline Produit&&-&0&+&&\\\hline f(x)&-1&\searrow&-\frac{3}{2}&\nearrow&3& \\\hline\end{array}

Posté par
justine1607re : Etude de la fonction f(x) = cos (2x) - 2 cos x 13-10-11 à 21:24

D'accord merci. Pouvez-vous juste m'expliquer comment remplir le tableau ? Les détails

Posté par
pppare : Etude de la fonction f(x) = cos (2x) - 2 cos x 13-10-11 à 21:30

Sur [0;], la fonction sin est tjs à valeurs positives (ds [0;1]); dc 2 sin x est aussi tjs à valeurs positives (ou nulles)

Sur [0;], la fonction cos est à valeurs positives sur \rm\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right] et à valeurs négatives sur \rm\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]

Dc 2cos x sera aussi à valeurs négatives sur \rm\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right] et
1 - un nbre négatif aura pr résultat un nbre positif.

reste à voir comment se comprte le signe de 2cos x sur \rm\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right],
Tant que 2 cos x < 1, 1-2cos x > 0 et 1 - 2cos x s'annule pr 2cos x = 1, soit cos x = \rm\frac{1}{2}, soit x = \rm x =\frac{\pi}{3},

Lorsque x \rm\left[0;\dfrac{\pi}{3}\right], cos x
\rm\left[0;\dfrac{1}{2}\right], dc 2cos x \rm\left[0;1\right], et 1-2cos x 0 ; et Lorsque x \rm\left[\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{2}\right], cos x \rm\left[\dfrac{1}{2};1\right], dc 2cos x \rm\left[1;2\right], et 1-2cos x 0

D'accord ?

Posté par
justine1607re : Etude de la fonction f(x) = cos (2x) - 2 cos x 13-10-11 à 21:34

Un grand merci, tout est clair

Posté par
pppare : Etude de la fonction f(x) = cos (2x) - 2 cos x 13-10-11 à 21:38

Le schéma pr finir

Etude de la fonction f(x) = cos (2x) - 2 cos x

Posté par
justine1607re : Etude de la fonction f(x) = cos (2x) - 2 cos x 13-10-11 à 21:52

C'est parfait. Merci merci merci !

Posté par
pppare : Etude de la fonction f(x) = cos (2x) - 2 cos x 14-10-11 à 00:35

En relisant mon message de 21 h 30 je m'aperçois qu'il y a eu des copier-coller intervertis ; à la fin de ce message, il faut lire :

Lorsque x \rm\left[0;\dfrac{\pi}{3}\right] , cos x \rm\left[\dfrac{1}{2};1\right] , dc 2cos x   \rm\left[1;2\right] ,  et 1-2cos x x 0 ; et Lorsque x \rm\left[\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{2}\right], cos x \rm\left[0;\dfrac{1}{2}\right],dc 2cos x \rm\left[0;1\right], et 1-2cos x 0


Le reste, commentaires, tableaux et graphiques est bon, et ainsi ce commentaire rectifié est cohérent avec tt le reste

Excuses

Posté par
sarah_missare : Etude de la fonction f(x) = cos (2x) - 2 cos x 31-03-13 à 18:30

merci bcp


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