Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Limites de fonctionsTopics traitant de Limites de fonctions [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

Etude de la fonction f(x) = cos (2x) - 2 cos x

Posté par
justine1607 13-10-11 à 19:54

Bonjour à tous, j'ai un devoir maison à faire, mais je bloque sur l'exercice. Pouvez-vous m'aider ?



Soit f la fonction définie sur R par f(x) = cos (2x) - 2 cos x
1) Démontrer que f est paire et périodique.
2) Calculer f'(x).
3) Etudier le sens de variation de f sur [ 0 ; pi ].
4) Construire la courbe représentant f sur [ - pi ; 3 pi ], dans un repère orthonormal.



Pour l'instant, j'ai trouvé ça :

1) Pour tout x € R, f (-x) = cos ( -2x ) - 2 cos (-x)
                           = cos (2x) - 2 cos x
                           = f (x).
donc f est une fonction paire.

f (x+2pi) = cos ( 2(x+2pi) ) - 2 cos (x + 2pi)
          = cos (2x + 4pi) - 2 cos (x + 2pi)
          = cos 2x - 2 cos x
          = f (x)
donc f est périodique de période 2pi.

Pour la 2) je n'arrive pas à trouver la dérivée. Et pour la 3) J'aimerai quelques explications pour la méthode.

Merci de votre aide

Posté par
pppare : Etude de la fonction f(x) = cos (2x) - 2 cos x 13-10-11 à 20:21

Bonsoir

Q2 Pr dériver cos 2x, on considère qu'on dérive une fonction composée de :

- la fonction cosinus
- la fonction u, telle que u(x) = 2x

dc {cos[u(x)]}' = -sin[u(x)].u'(x)

soit -2.sin(2x)

La dérivée de 2 cos x est plus simple : c'est -2 sin x.

La dérivée d'une somme de fonction est égale à la somme des dérivées des fonctions sommées.
On a dc f'(x) = -2.sin 2x + 2.sin x.

D'accord ?

Posté par
pppare : Etude de la fonction f(x) = cos (2x) - 2 cos x 13-10-11 à 20:30

NB : f est bien 2-périodique, mais ton calcul qui le justifie est erroné

Posté par
justine1607re : Etude de la fonction f(x) = cos (2x) - 2 cos x 13-10-11 à 20:43

d'accord merci beaucoup j'ai compris pour la dérivée.
et en quoi mon calcul pour la période n'est-il pas bon? merciii

Posté par
pppare : Etude de la fonction f(x) = cos (2x) - 2 cos x 13-10-11 à 20:53

Pr l'étude de la périodicité, Il faut écrire : cos(2x+2) = cos 2x.cos 2 -sin 2x sin 2 = cos 2x
et
cos(x+2) = cos x.cos 2 - sin x.sin 2 = =cos x

puisque cos 2 = 1 et sin 2 = 0

Dc cos(2x+2)-2cos(x+2) = cos 2x - 2 cos x = f(x).

Tu as mal posé le 2 , on ne doit pas trouver de valeur avec 4 ds le développement.

D'accord.

Pr la Q3 on peut simplifier l'écriture de f'(x) en posant f'(x) = 2sin x.(1 - 2cos x), en factorisant, sachant que sin 2x  = 2 sin x cos x
Ensuite, on étudie le signe de f' (dc celui de chacun de ses 2 facteurs) sur [0;], de façon à en déduire les variations de f sur cet intervalle.

D'accord ?

Posté par
pppare : Etude de la fonction f(x) = cos (2x) - 2 cos x 13-10-11 à 21:07

\Large\begin{array}{|c|cccccc||}\hline x&0&&\frac{\pi}{3}&&\pi&\\\hline 2 sin x&&+&\frac{\sqrt{3}}{2}&+&&\\\hline 1-2cos x&&-&0&+&&\\\hline Produit&&-&0&+&&\\\hline f(x)&-1&\searrow&-\frac{3}{2}&\nearrow&3& \\\hline\end{array}


Conclusion,f est décroissante sur \rm\left[0;\dfrac{\pi}{3}\right]

et croissante sur \rm\left]\dfrac{\pi}{3};\pi\right]

Posté par
justine1607re : Etude de la fonction f(x) = cos (2x) - 2 cos x 13-10-11 à 21:08

Merci beaucoup, je comprends bien
Pour la Q3 il suffit de faire le tableau ? Comment trouver le signe ?

Posté par
justine1607re : Etude de la fonction f(x) = cos (2x) - 2 cos x 13-10-11 à 21:09

Ah merci beaucoup pour le tableau !!

Posté par
justine1607re : Etude de la fonction f(x) = cos (2x) - 2 cos x 13-10-11 à 21:11

Juste, pour le tableau. Comment on sait qu'il faut mettre pi/3 ? Et comment connaitre les signes?

Posté par
pppare : Etude de la fonction f(x) = cos (2x) - 2 cos x 13-10-11 à 21:15

Il y a juste une petite erreur ds le 2ème ligne de mon tb

Voici le bon (ça ne change rien aux signes non plus qu'aux variations de f)

\Large\begin{array}{|c|cccccc||}\hline x&0&&\frac{\pi}{3}&&\pi&\\\hline 2 sin x&&+&\sqrt{3}&+&&\\\hline 1-2cos x&&-&0&+&&\\\hline Produit&&-&0&+&&\\\hline f(x)&-1&\searrow&-\frac{3}{2}&\nearrow&3& \\\hline\end{array}

Posté par
justine1607re : Etude de la fonction f(x) = cos (2x) - 2 cos x 13-10-11 à 21:24

D'accord merci. Pouvez-vous juste m'expliquer comment remplir le tableau ? Les détails

Posté par
pppare : Etude de la fonction f(x) = cos (2x) - 2 cos x 13-10-11 à 21:30

Sur [0;], la fonction sin est tjs à valeurs positives (ds [0;1]); dc 2 sin x est aussi tjs à valeurs positives (ou nulles)

Sur [0;], la fonction cos est à valeurs positives sur \rm\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right] et à valeurs négatives sur \rm\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]

Dc 2cos x sera aussi à valeurs négatives sur \rm\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right] et
1 - un nbre négatif aura pr résultat un nbre positif.

reste à voir comment se comprte le signe de 2cos x sur \rm\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right],
Tant que 2 cos x < 1, 1-2cos x > 0 et 1 - 2cos x s'annule pr 2cos x = 1, soit cos x = \rm\frac{1}{2}, soit x = \rm x =\frac{\pi}{3},

Lorsque x \rm\left[0;\dfrac{\pi}{3}\right], cos x
\rm\left[0;\dfrac{1}{2}\right], dc 2cos x \rm\left[0;1\right], et 1-2cos x 0 ; et Lorsque x \rm\left[\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{2}\right], cos x \rm\left[\dfrac{1}{2};1\right], dc 2cos x \rm\left[1;2\right], et 1-2cos x 0

D'accord ?

Posté par
justine1607re : Etude de la fonction f(x) = cos (2x) - 2 cos x 13-10-11 à 21:34

Un grand merci, tout est clair

Posté par
pppare : Etude de la fonction f(x) = cos (2x) - 2 cos x 13-10-11 à 21:38

Le schéma pr finir

Etude de la fonction f(x) = cos (2x) - 2 cos x

Posté par
justine1607re : Etude de la fonction f(x) = cos (2x) - 2 cos x 13-10-11 à 21:52

C'est parfait. Merci merci merci !

Posté par
pppare : Etude de la fonction f(x) = cos (2x) - 2 cos x 14-10-11 à 00:35

En relisant mon message de 21 h 30 je m'aperçois qu'il y a eu des copier-coller intervertis ; à la fin de ce message, il faut lire :

Lorsque x \rm\left[0;\dfrac{\pi}{3}\right] , cos x \rm\left[\dfrac{1}{2};1\right] , dc 2cos x   \rm\left[1;2\right] ,  et 1-2cos x x 0 ; et Lorsque x \rm\left[\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{2}\right], cos x \rm\left[0;\dfrac{1}{2}\right],dc 2cos x \rm\left[0;1\right], et 1-2cos x 0


Le reste, commentaires, tableaux et graphiques est bon, et ainsi ce commentaire rectifié est cohérent avec tt le reste

Excuses

Posté par
sarah_missare : Etude de la fonction f(x) = cos (2x) - 2 cos x 31-03-13 à 18:30

merci bcp


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1694 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !