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Etude de la position relative entre une courbe et une droite
Bonjour,
J'ai du mal à faire la partie 3 de ce sujet, merci d'avance de vos contribution.
Soit f la fonction définie sur [ 0 ; +∞ [ par f (x) = e-x. On appelle C sa courbe représentative dans un repère orthonormé et D sa tangente au point d'abscisse 0.
1. Déterminer l'équation réduite de D.
2. Étudier la position de C par rapport à D suivant les valeurs de x.
3. Soit a un nombre réel tel que a ≥ 1. Déterminer, en unités d'aire, l'aire A(a) du domaine limité par la courbe C, la droite D, l'axe des abscisses et la droite d'équation x = a.
Bonjour,
faire une figure (de principe, même à main levée)
l'aire demandée est au plus simple la différence de deux aires
(une intégrale et un triangle)
Bonjour et merci pour votre conseil cependant c'est l'expression de cette intégrale que je comprends pas bien. Ensuite les bornes où il faut la calculer : Entre 0 et a; entre 1 et a ou entre 0 et 1 ?
Merci d'avance
l'aire bleue totale c'est OADC, c'est dans le cours
on retire le triangle OBC
reste l'aire cherchée (en bleu non hachuré) BADC
salut
Soit f la fonction définie sur [ 0 ; +∞ [ par f (x) = e-x. On appelle C sa courbe représentative dans un repère orthonormé et D sa tangente au point d'abscisse 0.
donc C est une droite puisque la fonction f(x) = e - x est une fonction affine
par contre si on veut introduire la fonction f(x) = exp (-x) sous forme exponentielle on écrit f(x) = e^(-x)
Salut carpediem et merci pour ta précision, il s'agit bien de
f(x) = e^(-x) dans mon sujet.
j'ai posé la fonction g tel que g = f - D, j'obtiens g(x) = e^(-x) + x - 1
dont une primitive est G(x) = -e^(-x) + (x^2)/2 - x.
J'ai calculé l'intégrale de celle-ci entre 0 et a mais il me manquerai un terme en e^(-x) ! D'où mon problème.
Effet, il aurait fallu faire le précédent calcul entre 0 et 1 et le calcul de -e^(-x), primitive de e^(-x), entre 1 et a. Mais je suis un peu perdu.
Merci d'avance pour ta contribution
on peut certes calculer la somme de ces deux aires
mais ma méthode par soustraction est tout de même plus rapide !!
(une seule intégrale à calculer, et l'aire d'un triangle rectangle de coté 1 est trivialement 1/2 )
Bonjour et merci pour votre éclairage.
Donc c'est l'intégrale de f sur [0;a] moins l'aire du triangle OBC. Cependant pourriez-vous me donner l'expression de ce calcul car je n'arrive pas à obtenir une limite finie (il y a une contrainte avec la droite d'équation x = a).
Merci d'avance
la droite x = a, c'est juste la verticale (AD) !!
elle définit juste et uniquement la borne supérieure d'une intégrale définie.
PS : petite révision sur les intégrales vs aires là : 
Intégrale : un cours complet de terminale avec des exemples
Bonjour Malou,
Pour répondre à votre question ci-dessous la réponse à mon devoir :
A(a) = [-e^(-x)][0][a] + [(x^(2))/2][0][a] - [x][0][a] = (-1/e^(a)) + 1 + (1/2*a^2) - a. Il faut comprendre par [0][a] entre 0 et a
D'où erreur !
Merci d'avance
@mathafhou : je sais bien mais je fais des maths pour le plaisir et ma mémoire n'est plus aussi bonne qu'autrefois. Pour l'instant je n'ai encore perdu la mienne et j'essaie de l'entretenir. Merci pour votre contribution très intéressante.
Bien cordialement
tu mélanges tout (addition ou soustraction, il faut choisir !)
par addition : la partie avant 1 plus la partie après 1
par soustraction : tout (sans tenir aucun compte de la droite) moins le triangle
les deux donnent évidemment le même résultat
(dans lequel il n'y a aucun polynome en a, vu que le triangle ne dépend pas de a !!)
PS
en décortiquant ton calcul (pas très lisible car il manquait les calculs précédents, l'écriture avec les intégrales), en fait tu calculais ça :
il y a en trop le triangle BAF
en faisant ainsi (c'est une 3ème méthode!) il faudrait retrancher à ton résultat l'aire de ce triangle.
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