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etude des variations d'une fonction exponentielle

Posté par
meticuleuse
20-11-08 à 13:42

bonjours j'ai un exercice à faire en maths en maths et je bloque sur une question


voila c'est:
En etudiant les variations de la fonction d définie sur R par: d(x)= e^x-e^(x-a)-e^a ou a est un réel fixé, démontrer que la courbe C est située au dessus de ses tangentes


en faite je comprend pas trop la question j'ai étudier le signe de la dérive et trouvé les variations de C mais comment à partir de cela en déduire que C est au dessus de ces tangentes

je preceise que C est la courbe de la fonction f(x)= e^x


ps: pour la dérivé je trouve e^x-2e^a+xe^a-ae^a pouvez vous me confirmer ce résultat

merci de votre

Posté par
Youpi
re : etude des variations d'une fonction exponentielle 20-11-08 à 14:08

ta dérivée simple bien fausse.

Sinon une courbe est située au dessus de ses tangentes si la dérivée seconde est toujours positive...ce qui est le cas ici.

Posté par
meticuleuse
re 20-11-08 à 14:14

à merci d'accord je comprend mieux je vais recalculer ma dérivé

Posté par
littleguy
re : etude des variations d'une fonction exponentielle 20-11-08 à 14:20

Bonjour

Une équation de la tangente (T) à (Cf) au point d'abscisse a est y=f'(a)(x-a)+f(a)

donc ici ça donne y=e^a(x-a)+e^a

en notant g(x)=e^a(x-a)+e^a, la position de (Cf) par rappprt à (Cf) dépend donc du signe de

d(x)=f(x)-g(x)=e^x-e^a(x-a)-e^a

on a d^'(x)=e^x-e^a donc d^{''}(x)=e^x

d" est strictement positive donc d' est strictement croissante.

Le signe de d'(x) est donnée par celui de e^x-e^a, négatif pour x inférieur à a, positif pour x supérieur à a

Donc d admet un minimum pour x = a, ce minimum est 0, donc d(x)\geq 0

(Cf) est donc au-dessus de (T)

On retrouve un résultat connu sur le signe de la dérivée seconde et la position de la courbe par rapport à ses tangentes.

Sauf erreur

Posté par
littleguy
re : etude des variations d'une fonction exponentielle 20-11-08 à 14:21

Bonjour Youpi. Pas vu ta réponse, désolé, je suis maladroit et lent sur le clavier.

Posté par
Youpi
re : etude des variations d'une fonction exponentielle 20-11-08 à 14:29

Tu n'es pas plus lent que moi c'est juste que j'écris beaucoup moins de choses !

Posté par
meticuleuse
re 20-11-08 à 14:29

merci littleguy je dois dire que j'y été pas du tout dans le calcule de ma dérivé je te remercie beaucoup

bonne fin de journée

Posté par
meticuleuse
re question 20-11-08 à 14:51

par contre j'ai un petit probléme
la tangente au point d'abscisse a est
f'(a)(x-a)+f(a)

or il me dise de déterminer l'abscisse du point I intersection de la droite ta avec l'axe des abscisse

donc je chache e^(a)x-a+e^a=0

or je fais le trinome je trouve
(-1-√(5a))/2 ou (-1+ √(5a))/2

pouvez vous me confirmer le résultat?

et aussi comment à partir de ce resultat je peux déduire que le vecteur Hi est constant sachant que h est le projeté orthogonal de m un point quelqu'onque dans la courbe C(f(x)=e^x)

merci de votre aide

Posté par
littleguy
re : etude des variations d'une fonction exponentielle 20-11-08 à 14:59

Non : ça donne e^a(x-a)+e^a = 0 donc e^ax=ae^a-e^a et donc x=a-1, asuf erreur.

Qui est H ?

Posté par
littleguy
re : etude des variations d'une fonction exponentielle 20-11-08 à 14:59

Pardon, je viens de voir qui est H

Posté par
littleguy
re : etude des variations d'une fonction exponentielle 20-11-08 à 15:00

oui, mais pas bien vu. Qui est H précisément ?

Posté par
meticuleuse
re 20-11-08 à 15:05

ah oui vrai pour ton résultat je m'étais planté une tange peut avoir que solution avec l'abscisse merci


euh H est le projeté orthogonal de M qui lui est un point quelqu'un de la courbe de la fonction f(x)=e^x

Posté par
littleguy
re : etude des variations d'une fonction exponentielle 20-11-08 à 15:13

Attends... M ne serait-il pas le point de "tangence" ?

Posté par
meticuleuse
re 20-11-08 à 15:15

oui M est aussi un point de la tangente

Posté par
littleguy
re : etude des variations d'une fonction exponentielle 20-11-08 à 15:19

alors c'est le point d'abscisse a ; son projeté H sur l'axe ses abscisses a donc aussi a comme abscisse.

on a I(a-1 ; 0) et H(a,0), donc \vec{IH} a pour coordonnées (1,0), et par conséquent IH = 1

Posté par
meticuleuse
erci 20-11-08 à 15:30

ah ok j'avais pas vu les choses de cette façon


rassume moi cette excercice est plutot dure? c'est pas le genre à tomber au bac?

Posté par
littleguy
re : etude des variations d'une fonction exponentielle 20-11-08 à 15:35

Alors là... Demande à ton professeur.



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