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Niveau terminale
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Etude fonction

Posté par
Albanmaths2
12-02-23 à 17:30

Bonjour je bloque sur une étude d'une dérivée. Voici l'exercice :
Soit f la fonction f définie, pour tout x appartenant à )0;+inf(
par f(x)=(-x+3)ln(x) et gal fonction définie sur )0;+inf( par g(x)=3/x-1-ln(x).
1) Déterminer la dérivée g' de g
2) en déduire le sens de variation de g sur )0;+inf(
3) Calculer g(1) et g(2) et en déduire qu'il existe une unique solution pour l'équation g(x)=0
Partie B :
1) determiner la derive f' de f sur )0;+inf(
2) Déduire de la partie A les variations de f sur )0;+inf(


Partie A
Pour ces trois questions pas de problème j'ai trouvé que :
g'(x)=- (3+x/x^2)
Ainsi le signe de g' dépend de celui du numérateur :
- (3+x/x^2)>0
=  (3+x/x^2)<0 Ainsi 3+x<0 on en déduit que x<3
Ainsi sur )0;+inf( g'<0 donc g strictement décroissante avec pour limite en 0 par valeur supérieur +inf et en +inf on a une limite de -inf

Partie B:
f'=-(xlnx+3+x/x)
Ainsi x>0 donc le signe de la dérivée dépend de celui du numérateur.
Donc -(xlnx+3+x/x)>0 revient à (xlnx+3+x/x)<0
xlnx+3+x<0 et c'est ici que je suis bloquée je ne sais pas résoudre cette équation.

Je vous remercie par avance

Posté par
hekla
re : Etude fonction 12-02-23 à 17:39

Bonjour

 3+x<0\iff x<-3

Il faudrait revoir la rédaction

Posté par
hekla
re : Etude fonction 12-02-23 à 17:50

g(x)=\dfrac{3}{x}-1-\ln x

 g'(x)=\dfrac{-3}{x^2}-\dfrac{1}{x}=-\dfrac{3+x}{x^2}

 g'(x) est du signe de -(3+x)

résolvons 3+x>0  ou 3+x <0

3+x<0 \iff x<-3 par conséquent sur  ]0~;~+\infty[\ g'(x)<0

g décroissante, sur cet intervalle

\displaystyle \lim_{x\to 0+}g(x)=+\infty \quad \lim_{x\to +\infty}g(x)=-\infty


On est d'accord

Partie B f'(x)=\dfrac{3}{x}-1-\ln x= g(x)

À quoi sert la partie A ?

Posté par
carpediem
re : Etude fonction 12-02-23 à 19:13

salut

 g'(x)=\dfrac{-3}{x^2}-\dfrac{1}{x} est évidemment négatif lorsque x est positif (strictement) (comme somme de deux nombres négatifs (strictement)

Albanmaths2 @ 12-02-2023 à 17:30

Soit f la fonction f définie, pour tout x appartenant à )0;+inf(
par f(x)=(-x+3)ln(x) et gal fonction définie sur )0;+inf( par g(x)=3/x-1-ln(x)
g'(x)=- (3+x/x^2)  de nombreuses parenthèses mal placées donc inutiles et les nécessaires sont manquantes !!
Ainsi le signe de g' dépend de celui du numérateur :
- (3+x/x^2)>0  et ici
=  (3+x/x^2)<0  et ici Ainsi 3+x<0 on en déduit que x<3

Partie B:
f'=-(xlnx+3+x/x) je ne comprends pas comment tu obtiens cette dérivée : f est de la forme uv et une dérivation classique donne immédiatement g !!

Posté par
Albanmaths2
re : Etude fonction 15-02-23 à 14:20

Oui effectivement la dérivée est égale à g(x)
ainsi f'(x)=g(x) trouvé dans la partie A.
Donc le signe de cette dérivée dépend de celui de g(x) or, nous obtenons qu'une valeur approché de x solution de g(x)=0 (à 10^-2 près on trouve x=1,86.
Cette méthode en étudiant la continuité et en appliquant le théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire  me semble imprécise pour répondre à la question. Ne vaudrait-il pas mieux résoudre l'équation ?
Je vous remercie

Posté par
Albanmaths2
re : Etude fonction 15-02-23 à 14:24

Non en fait ma remarque est sans intérêt je pense que l'on ne peut pas êtres plus précis.

Posté par
hekla
re : Etude fonction 15-02-23 à 14:52

Bonjour  

Vous avez résolu l'équation f'(x)=0. Vous avez montré que cette valeur était \alpha avec \alpha \approx 1,86
Vous en avez déduit le signe de g(x)

g(x)>0 si x\in ]0~;~\alpha[

g(x)<0 si x\in ]\alpha~;~+\infty[

Vous pouvez étudier le sens de variation de f d'une façon précise.



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