Bonjour je bloque sur une étude d'une dérivée. Voici l'exercice :
Soit f la fonction f définie, pour tout x appartenant à )0;+inf(
par f(x)=(-x+3)ln(x) et gal fonction définie sur )0;+inf( par g(x)=3/x-1-ln(x).
1) Déterminer la dérivée g' de g
2) en déduire le sens de variation de g sur )0;+inf(
3) Calculer g(1) et g(2) et en déduire qu'il existe une unique solution pour l'équation g(x)=0
Partie B :
1) determiner la derive f' de f sur )0;+inf(
2) Déduire de la partie A les variations de f sur )0;+inf(
Partie A
Pour ces trois questions pas de problème j'ai trouvé que :
g'(x)=- (3+x/x^2)
Ainsi le signe de g' dépend de celui du numérateur :
- (3+x/x^2)>0
= (3+x/x^2)<0 Ainsi 3+x<0 on en déduit que x<3
Ainsi sur )0;+inf( g'<0 donc g strictement décroissante avec pour limite en 0 par valeur supérieur +inf et en +inf on a une limite de -inf
Partie B:
f'=-(xlnx+3+x/x)
Ainsi x>0 donc le signe de la dérivée dépend de celui du numérateur.
Donc -(xlnx+3+x/x)>0 revient à (xlnx+3+x/x)<0
xlnx+3+x<0 et c'est ici que je suis bloquée je ne sais pas résoudre cette équation.
Je vous remercie par avance
est du signe de
résolvons ou
par conséquent sur
décroissante, sur cet intervalle
On est d'accord
Partie B
À quoi sert la partie A ?
salut
est évidemment négatif lorsque x est positif (strictement) (comme somme de deux nombres négatifs (strictement)
Oui effectivement la dérivée est égale à g(x)
ainsi f'(x)=g(x) trouvé dans la partie A.
Donc le signe de cette dérivée dépend de celui de g(x) or, nous obtenons qu'une valeur approché de x solution de g(x)=0 (à 10^-2 près on trouve x=1,86.
Cette méthode en étudiant la continuité et en appliquant le théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire me semble imprécise pour répondre à la question. Ne vaudrait-il pas mieux résoudre l'équation ?
Je vous remercie
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