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etudier le signe des termes contenant l'exponetielle

Posté par
Amarouche1
15-02-21 à 12:51

Bonjour,
Si on a : par exemple des nombres comme : ln(\frac{1}{2})+ \frac{1}{2} ou e^{\frac{-1}{2}}-\frac{1}{2} ... comment etudier leur signe sans utiliser le calculatice ?

Posté par
malou Webmaster
re : etudier le signe des termes contenant l'exponetielle 15-02-21 à 13:05

Bonjour
il était une époque où nous connaissions sans calculatrice des valeurs particulières (approchées) comme ln(2)
tout le monde sait que ln(2) 0,69
avec ça tu règles ton problème

Posté par
Amarouche1
re : etudier le signe des termes contenant l'exponetielle 15-02-21 à 13:12

on suppose que  j'ai rencontre ce nombre dans un examen de Bac, et qu'il fallait savoir son signe, est-ce-que je peux dire qu'il est positif ou negatif directement sans demonstration par exemple ?

Posté par
malou Webmaster
re : etudier le signe des termes contenant l'exponetielle 15-02-21 à 13:15

directement, non, si je suis le prof, je mets un grand point d'interrogation dans la marge
mais en passant par une valeur approchée de ln(2) oui

Posté par
Amarouche1
re : etudier le signe des termes contenant l'exponetielle 15-02-21 à 13:23

Je vais donner un exemple pour comprendre ma situation : (extrait de bac maroc 2003 )
On considere la fonction fn definie sur R par : fn(x)=x+e^{nx}
1) Etudier les variations de la fonnction fn
2) En deduire que l'equation fn(x)=0 admet une solution unique \alpha _{n}
3)a) Montrer que \alpha _{1}\in ]-ln2;\frac{-1}{2}[
b)Montrer que les quantites (x-\alpha _{1}) et (e^x +\alpha _{1}) ont le meme signe

Posté par
malou Webmaster
re : etudier le signe des termes contenant l'exponetielle 15-02-21 à 13:31

mais en 2003, on avait le droit à la calculatrice , non ? en France en tout cas, oui
est-ce écrit au début du sujet "calculatrice interdite " ?

Posté par
Amarouche1
re : etudier le signe des termes contenant l'exponetielle 15-02-21 à 13:34

En effet je sais pas si  le calculatrice etait interdite en 2003(car je n'ai le sujet complet) mais en 2021 oui

Posté par
malou Webmaster
re : etudier le signe des termes contenant l'exponetielle 15-02-21 à 13:41

alors en 2020, au Maroc, la calculatrice non programmable était autorisée
là dedans, tu as ln et exponentielle
et en 2003, vu la question, ou elle était autorisée, ou à la fin du sujet on donnait des valeurs approchées de quelque chose comme je disais au dessus

vous êtes prévenus cette année que vous n'allez pas avoir le droit à la calculatrice ?
normalement quand c'est le cas, le sujet est construit en fonction, et on n'en a pas besoin.

Posté par
Amarouche1
re : etudier le signe des termes contenant l'exponetielle 15-02-21 à 13:50

Non au Maroc en 2020  la calculatrice etait interdite quelqu'elle soit progammable ou non, mais normalement quand on a besoin des valeurs approches ils les ecrivent a la fin comme vous avez dit, mais ce n'est pas le cas dans l'exemple que j'ai deja cite

Posté par
malou Webmaster
re : etudier le signe des termes contenant l'exponetielle 15-02-21 à 13:56

ça devait dépendre des bacs car Bac SVT-PC Maroc 2020 et son corrigé
s'il n'y a rien d'écrit sur ton sujet, c'est qu'elle était autorisée

Posté par
Amarouche1
re : etudier le signe des termes contenant l'exponetielle 15-02-21 à 14:14

Je comprend maintenant c'etait autorisee pour le filiere PC-SVT mais pas pour SM ...
Je vous remercie

Posté par
Amarouche1
re : etudier le signe des termes contenant l'exponetielle 15-02-21 à 14:51

Amarouche1 @ 15-02-2021 à 13:23

Je vais donner un exemple pour comprendre ma situation : (extrait de bac maroc 2003 )
On considere la fonction fn definie sur R par : fn(x)=x+e^{nx}
1) Etudier les variations de la fonnction fn
2) En deduire que l'equation fn(x)=0 admet une solution unique \alpha _{n}
3)a) Montrer que \alpha _{1}\in ]-ln2;\frac{-1}{2}[
b)Montrer que les quantites (x-\alpha _{1}) et (e^x +\alpha _{1}) ont le meme signe

pour 3)b- Voila ma reponse :
on a : f_{1}(\alpha _{1})=0 \Leftrightarrow \alpha _{1}=-e^{\alpha _{1}} Alors
(x-\alpha _{1})(e^x -\alpha _{1}) \Leftrightarrow (x-\alpha _{1})(e^x -e^{\alpha _{1}}) Alors si x\geq \alpha _{1} \Rightarrow e^{x}\geq e^{\alpha _{1}} \Rightarrow (x-\alpha _{1})(e^x -e^{\alpha _{1}})\geq 0
si x\leq \alpha _{1} \Rightarrow e^{x}\leq e^{\alpha _{1}} \Rightarrow (x-\alpha _{1})(e^x -e^{\alpha _{1}})\geq 0
Alors (x-\alpha _{1}) et (e^x +\alpha _{1}) ont le meme signe
est ce que c'est juste ??

Posté par
malou Webmaster
re : etudier le signe des termes contenant l'exponetielle 15-02-21 à 15:18

à ceci près que
(x-\alpha _{1})(e^x -\alpha _{1}) \Leftrightarrow (x-\alpha _{1})(e^x -e^{\alpha _{1}})
n'est certainement pas ce que tu voulais écrire
je suppose que tu voulais démontrer que le produit était positif afin de pouvoir dire que les termes du produit avaient même signe

j'aimerais voir clairement d'où tu pars et où tu arrives

Posté par
Amarouche1
re : etudier le signe des termes contenant l'exponetielle 15-02-21 à 15:32

Oui c'est ca mon but , c'est de demontrer que le produit des positif
Pardon c'est l'egalite ici : (x-\alpha%20_{1})(e^x%20-\alpha%20_{1})%20 = (x-\alpha%20_{1})(e^x%20-e^{\alpha%20_{1}})
apres j'ai precise le signe de chaque terme en utilisant la disjonction des cas, et j'ai trouve que si x>alpha alors les deux termes seront positif et leur produit aussi, et si x<alpha alors lles deux deront negatifs et leur produit positif . Donc les deux termes ont meme signe quelque soit x

Posté par
malou Webmaster
re : etudier le signe des termes contenant l'exponetielle 15-02-21 à 15:55

tu ne fais pas assez attention à ce que tu écris
c'est le signe du produit (x-\alpha%20_{1})(e^x%20 {\red{+}}\alpha%20_{1})%20 que tu veux étudier, et c'est bien égal à (x-\alpha%20_{1})(e^x%20-e^{\alpha%20_{1}})

le reste est juste

Posté par
Amarouche1
re : etudier le signe des termes contenant l'exponetielle 15-02-21 à 16:46

Je bloque vraiment sur 5)a) dans la suite de cet exercice
4) On considere la fonction \phi definie sur ]-\infty;\frac{-1}{2}] par : \phi (x)= e^x - \frac{1}{\sqrt{e}}\times x
a)Montrer que la fonction \phi est decroissante sur l'intervalle : ]-\infty;\frac{-1}{2}]
b) En deduire que pour tout x \in ]-\infty ;\frac{-1}{2}]
\mid e^x + \alpha _{1}\mid \leq \frac{1}{\sqrt{e}}\mid x-\alpha _{1}\mid
5)On cosidere la suite  (\beta n) definie par : \beta _{0}=\frac{-1}{2}
et pour tout n de N : \beta _{n+1}=-e^{\beta _{n}}
a) Montrer au'il existe un reel \alpha tel que : pour tout n de N :\mid\beta _{n+1} - \alpha _{1}\mid \leq \alpha \mid \beta _{n}-\alpha _{1}\mid
2) Montrer que la suite (\beta _{n}) est convergente et deteminer sa limite
J'ai pense a utiliser l'inegalite de 4)b) j'ai  remplace et j'ai tombe sur la meme inegalite demande avec \alpha =\frac{1}{\sqrt{e}} mais le probleme c'est que je trouve une probleme pour demontrer que \beta _{n}\in ]-\infty ;\frac{-1}{2}] meme par la recurrence.
si j'essaye d'utilise TAF je tombe toujours sur la meme probleme






  







Posté par
Amarouche1
re : etudier le signe des termes contenant l'exponetielle 15-02-21 à 18:31

Pouvez-vous me donner des pistes svp ?

Posté par
Amarouche1
re : etudier le signe des termes contenant l'exponetielle 15-02-21 à 20:21

Up :?

Posté par
Amarouche1
re : etudier le signe des termes contenant l'exponetielle 15-02-21 à 21:08

Posté par
Amarouche1
re : etudier le signe des termes contenant l'exponetielle 15-02-21 à 22:30

Posté par
malou Webmaster
re : etudier le signe des termes contenant l'exponetielle 16-02-21 à 09:47

Tu aurais mis tout ton exercice dès le départ, je n'aurais pas commencé à te répondre, n'ayant pas de disponibilités ces jours ci...je vais essayer de t'envoyer quelqu'un ...
désolée...

Posté par
Amarouche1
re : etudier le signe des termes contenant l'exponetielle 16-02-21 à 14:14

Merci pour vos efforts ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : etudier le signe des termes contenant l'exponetielle 18-02-21 à 09:25

Bonjour,
Si ce n'est pas trop tard...
Pas facile, surtout quand il faut chercher l'énoncé éparpillé dans plusieurs messages.

Pour ta récurrence dans 5)a), tu voudrais démontrer ex -1/2.
Ce qui revient à \; x -ln2 .
D'où l'idée de démontrer ceci avant de se lancer dans la récurrence :
Si \; -ln2 x -1/2 \; alors \; -ln2 -ex -1/2 .

On a besoin de \; e-1/2 ln2.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : etudier le signe des termes contenant l'exponetielle 18-02-21 à 09:45

Une coquille :

Citation :
tu voudrais démontrer \; - ex -1/2 .

Posté par
Amarouche1
re : etudier le signe des termes contenant l'exponetielle 19-02-21 à 16:49

oui c'est ca,en fait  je dois montrer que (\beta n) \in ]-ln2; \frac{-1}{2}[ au lieu de ]-\infty ; \frac{-1}{2}[
- on pour n=0 : \beta _{0}=-\frac{1}{2}\in ]-ln2; -\frac{1}{2}[
Supposons \beta _{n}\in ]-ln2; -\frac{1}{2}[ et montrons \beta _{n+1}\in ]-ln2; -\frac{1}{2}[
On a -ln2<\beta _{n}<\frac{-1}{2} \Rightarrow e^{-ln2}<e^{\beta _{n}}<e^{\frac{-1}{2}}\Rightarrow -e^{\frac{-1}{2}}<-e^{\beta _{n}}<-e^{ln\frac{1}{2}}
\Rightarrow \beta _{n+1}<-\frac{1}{2}
Donc il fallait au debut chosir l'intervalle exacte ...
Merci infiniment pour tes indications Sylvieg

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : etudier le signe des termes contenant l'exponetielle 19-02-21 à 18:10

De rien ; mais n'oublie pas de bien mettre à la dernière ligne :

\Rightarrow  -e^{\frac{-1}{2}}< \beta _{n+1}<-\dfrac{1}{2} \Rightarrow  -ln 2 < -e^{\frac{-1}{2}}< \beta _{n+1}<-\dfrac{1}{2}
Sinon l'hérédité est incomplète.



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