Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau terminale
Partager :

euler

Posté par
Blueturtle
30-11-22 à 21:14

bonsoir,
désolé de vous déranger si tard mais j'aimerai savoir comment démontrer que

cos(2x)=2cos^2(x)-1  avec les formules d'Euler

j'ai commencé à faire ça
cos(2x)=(ei2x+e^-i2x)/2
=(cos 2x +i sin 2x +cos 2x-i sin 2x)/2
=(cos 2x + cos 2x)/2

mais je ne vois pas comment continuer

merci d'avance bonne soirée à tous et toutes

Posté par
Leile
re : euler 30-11-22 à 21:22

bonsoir,

tu as bien commencé
à partir de ta 1ère ligne
remarque que    e i2x    =  ( e ix

cos 2x = .........

Posté par
Blueturtle
re : euler 30-11-22 à 21:31

cos(2x)=((e^ix)^2+(e^-ix)^2)/2
=(cos x)^2+(i sin x)^2+(cos x)^2+(-i sin x)^2( tout sur 2)

c'est bien ça ? et est-ce que sinus i s'annule comme i^2=-1 ?

merci de votre réponse

Posté par
Leile
re : euler 30-11-22 à 21:38

cos(2x)=((e^ix)^2+(e^-ix)^2)/2    : OK

à présent  tu sais que     A² + B²  =  (A+B)²  -  2AB   n'est ce pas ?

on obtiens donc  
(  (e ix   +  e -ix) ²   -   2 eix * e-ix   ) / 2

tu peux simplifier la partie en bleu, n'est ce pas ?

Posté par
Blueturtle
re : euler 30-11-22 à 21:44

(  (e ix   +  e -ix) ²   -   2 eix * e-ix   ) / 2
=((e ix +e -ix)^2 -2*1)/2

si je ne me trompe pas

Posté par
Leile
re : euler 30-11-22 à 21:55

oui  

=    ((e ix +e -ix)^2  )/2   -  2/2  =     ((e ix +e -ix)^2  )/2   -  1

là on se dit qu'on est sur la bonne voie, puisqu'on a déjà le -1..  

reste à montrer que   ((e ix +e -ix)^2  )/2 = 2cos²x

je te propose de le prendre dans l'autre sens, c'est a dire de montrer que  2 cos²x =  ((e ix +e -ix)^2  )/2

cos x =   ((e ix +e -ix)  )/2
cos² x = ????
2 cos ² x = .....



Posté par
Blueturtle
re : euler 30-11-22 à 22:05


cos x =   ((e ix +e -ix)  )/2
cos² x =  (((e ix +e -ix)  )/2)^2
              =((eix+e-ix)^2/4
              =(cos x+ isin x+ cos X - i sin x)^2 /4
            = cos^2x/4
2 cos ² x = 2 cos^2x/4

mais je ne suis pas totalement sure

Posté par
Leile
re : euler 30-11-22 à 22:12

cette fois encore tu dérives avec    =(cos x+ isin x+ cos X - i sin x)^2 /4

...
cos x =   ((e ix +e -ix)  )/2
cos² x =  (((e ix +e -ix)  )/2)^2
              =((eix+e-ix)^2/4    oui   !   et là, tu y es presque..
2 cos² x  =  2  ((eix+e-ix)^2/4      
2 cos ²  x  =  ((eix+e-ix)^2/2  ce que tu voulais obtenir.


au final :
on en était à
cos(2x) =     ((e ix +e -ix)^2  )/2   -  1
or la partie bleue = 2cos²x   tu viens de le montrer.
donc ...
...   tu peux conclure.

Posté par
Blueturtle
re : euler 30-11-22 à 22:17

oh d'accord merci beaucoup pour votre temps

ce n'était pas si compliqué finalement haha

encore merci bonne soirée à vous

Posté par
Leile
re : euler 30-11-22 à 22:23

oui, il fallait juste rester avec les formes exponentielles.
Bonne soirée à toi aussi.



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !