bonsoir,
désolé de vous déranger si tard mais j'aimerai savoir comment démontrer que
cos(2x)=2cos^2(x)-1 avec les formules d'Euler
j'ai commencé à faire ça
cos(2x)=(ei2x+e^-i2x)/2
=(cos 2x +i sin 2x +cos 2x-i sin 2x)/2
=(cos 2x + cos 2x)/2
mais je ne vois pas comment continuer
merci d'avance bonne soirée à tous et toutes
bonsoir,
tu as bien commencé
à partir de ta 1ère ligne
remarque que e i2x = ( e ix )²
cos 2x = .........
cos(2x)=((e^ix)^2+(e^-ix)^2)/2
=(cos x)^2+(i sin x)^2+(cos x)^2+(-i sin x)^2( tout sur 2)
c'est bien ça ? et est-ce que sinus i s'annule comme i^2=-1 ?
merci de votre réponse
cos(2x)=((e^ix)^2+(e^-ix)^2)/2 : OK
à présent tu sais que A² + B² = (A+B)² - 2AB n'est ce pas ?
on obtiens donc
( (e ix + e -ix) ² - 2 eix * e-ix ) / 2
tu peux simplifier la partie en bleu, n'est ce pas ?
oui
= ((e ix +e -ix)^2 )/2 - 2/2 = ((e ix +e -ix)^2 )/2 - 1
là on se dit qu'on est sur la bonne voie, puisqu'on a déjà le -1..
reste à montrer que ((e ix +e -ix)^2 )/2 = 2cos²x
je te propose de le prendre dans l'autre sens, c'est a dire de montrer que 2 cos²x = ((e ix +e -ix)^2 )/2
cos x = ((e ix +e -ix) )/2
cos² x = ????
2 cos ² x = .....
cos x = ((e ix +e -ix) )/2
cos² x = (((e ix +e -ix) )/2)^2
=((eix+e-ix)^2/4
=(cos x+ isin x+ cos X - i sin x)^2 /4
= cos^2x/4
2 cos ² x = 2 cos^2x/4
mais je ne suis pas totalement sure
cette fois encore tu dérives avec =(cos x+ isin x+ cos X - i sin x)^2 /4
...
cos x = ((e ix +e -ix) )/2
cos² x = (((e ix +e -ix) )/2)^2
=((eix+e-ix)^2/4 oui ! et là, tu y es presque..
2 cos² x = 2 ((eix+e-ix)^2/4
2 cos ² x = ((eix+e-ix)^2/2 ce que tu voulais obtenir.
au final :
on en était à
cos(2x) = ((e ix +e -ix)^2 )/2 - 1
or la partie bleue = 2cos²x tu viens de le montrer.
donc ...
... tu peux conclure.
oh d'accord merci beaucoup pour votre temps
ce n'était pas si compliqué finalement haha
encore merci bonne soirée à vous
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