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Niveau Reprise d'études
Ev en dimension infinie
Posté par Milka3
Bonjour,
je cherche à prouver l'implication suivante : toute application linéaire sur E est continue => E est de dimension finie.
Je raisonne par contraposition et souhaite montrer que E est de dimension infinie impose qu'il existe une application linéaire discontinue sur E.
Je bloque en différents points de la preuve :
Soit E de dimension infinie.
Alors E possède une famille libre infinie (ei)i
I.
Par le th. de la base incomplète en dimension infinie, on peut compléter celle-ci en une base (ei)iI' de E.
Et là je bloque, car cela parle d'ensemble dénombrable.
Pouvez-vous m'aider ?
D'avance merci 
Il faut au moins préciser
1.que E et un 
-ev topologique
2. ce que tu entends par " application linéaire sur E "
Principe : une fois une base donnée, tu peux définir n'importe comment ton application linéaire sur chaque élément de ta base.
En l'occurrence c'est plus simple de prendre un sous ensemble dénombrable, de faire des trucs dessus et de s'en ficher des autres éléments de la base (càd imposer f(ei) = 0 dessus)
Merci à vous !
J'essaye de bien comprendre l'articulation de la démonstration.
Dans ma démonstration, il est écrit que si E est de dimension infinie alors il y a une famille (ei)iI qui est une base. J'ai déjà bien galéré pour comprendre cela ! J'ai écrit :
- E est de dimension finie donc possède une famille libre infinie.
- Par le th. de la base incomplète, je peux alors fabriquer une base à partir de cette famille.
Je pense que cela fonctionne.
Ensuite, il est écrit que I contient un ss-ensemble dénombrable : ce que je ne comprends pas ! Et effectivement après on construit une application linéaire sur ces vecteurs.
Milka3
Tant que tu ne préciseras pas que tu considères
..E est un ou 
espace vectoriel topologique E
.. des applications linéaires arrivant dans un autre evt F
tout ce que tu raconteras n'aura aucun sens .
Bonjour,
oui, désolé, j'ai omis ceci :
(i) E est un espace vectoriel sur le corps des nombres réels ou complexes.
(ii) C'est dans ce cadre d'espace vectoriel qu'il faut comprendre la notion d'application linéaire : .
J'espère que c'est plus complet cette fois
La démonstration est écrite en 3 points :
1. Soit une base de
.
2. Si est un ensemble infinie, il contient sûrement un ensemble dénombrable
.
3. L'application si
et
sinon n'est pas continue.
J'essaye de comprendre ces 3 points.
Le point 1.
Citation :
E est de dimension finie donc possède une famille libre infinie. Par le th. de la base incomplète, je peux alors fabriquer une base à partir de cette famille.
E est de dimension finie donc possède une famille libre infinie. Par le th. de la base incomplète, je peux alors fabriquer une base à partir de cette famille.
Les points 2. et 3. : je ne comprends pas.
Pouvez-vous m'aider ?
Merci d'avance.
Bon début de journée
Bonjour,
1°) Tu peux fabriquer, si est un espace vectoriel normé de dimension infinie, une suite libre
avec
.
2°) Tu peux ensuite considérer une forme linéaire telle que
pour tout
.
Bonsoir à tous,
Il faudrait savoir si on essaie de construire une forme ou pas, car
Citation :
C'est dans ce cadre d'espace vectoriel qu'il faut comprendre la notion d'application linéaire :)
.
C'est dans ce cadre d'espace vectoriel qu'il faut comprendre la notion d'application linéaire :
Ensuite,
Citation :
J'espère que c'est plus complet cette fois
Il manque la topologie J'espère que c'est plus complet cette fois
. J'imagine du coup qu'on se place simplement dans des espaces vectoriels normés.
Enfin, si je comprends bien ta question (qui n'est pas hyper claire), tu essaies de comprendre un preuve que tu lis (plutôt que de fabriquer une preuve entièrement toi même)?
Si c'est le cas, alors pour répondre à tes questions:
Citation :
2. Si
est un ensemble infinie, il contient sûrement un ensemble dénombrable 
.
Un ensemble qui est infini est nécessairement "plus gros" que 2. Si
Ce résultat peut se démontrer à partir d'une des définitions d'un ensemble infini.
Citation :
3. L'application=n||e_i||)
si 
et =0)
sinon n'est pas continue.
Ici, on dirait bien que f est une forme donc 3. L'application
.
Mais peu importe (même si elle ne l'était pas, l'idée est la même). Suppose que f est continue. Que sais-tu de la caractérisation de la continuité des applications linéaires entre evn?
Bonjour,
merci pour l'aide. J'y vois un peu plus clair. Oui, j'essaye de comprendre une démonstration faite à la va-vite. Ok pour le point 2, je ne connaissais pas cette caractérisation : si un ensemble est infini alors il contient un ensemble dénombrable.
J'essaye le dernier point, le 3. On va montrer que la forme linéaire f n'est pas continue. Si elle l'était, on aurait une majoration du type quelque soit le vecteur
, où
.
Si alors
. En faisant tendre n à l'infini, on aboutit à une contradiction ?
Est-ce exact ?
Encore merci de votre aide
Tu as semble-t-il zappé ceci, qui ne demande aucun prérequis :
GBZM @ 31-03-2022 à 11:15
1°) Tu peux fabriquer, si
est un espace vectoriel normé de dimension infinie, une suite libre _{n\in \N})
avec 
.
1°) Tu peux fabriquer, si
Citation :
2°) Tu peux ensuite considérer une forme linéaire
telle que =1)
pour tout 
.
2°) Tu peux ensuite considérer une forme linéaire
On complète
Citation :
Ok pour le point 2, je ne connaissais pas cette caractérisation : si un ensemble est infini alors il contient un ensemble dénombrable.
Voici les définitions. Un ensemble est dit infini si:
Ok pour le point 2, je ne connaissais pas cette caractérisation : si un ensemble est infini alors il contient un ensemble dénombrable.
- Il ne peut être mis en bijection avec aucun ensemble à n élément(s),
- Il peut être mis en bijection avec une sous partie distincte de lui-même.
- Il contient une sous partie infinie dénombrable.
On peut montrer que dans ZFC (le système d'axiomes classique utilisé en maths), les 3 caractérisations sont équivalentes.
Citation :
Si
alors =n||e_{i_n}||\le C ||e_{i_n}||)
. En faisant tendre n à l'infini, on aboutit à une contradiction ?
Est-ce exact ?
Tu n'en as pas l'air certain Si
Est-ce exact ?
.
Oui c'est bon. Une constante réelle C ne peut évidemment pas majorer une expression tendant vers + l'infini.
Citation :
Encore merci de votre aide
Avec plaisir Encore merci de votre aide