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ex arthmetique
on se propose d etudier des couple (a,b) d entiers strictement positifs tq a au caree =b au cube
soit d est le pgcd de a et b.on note u et v td a=du et b=dv
1)monter que u au caree =d * v au cube
2)en deduire que v divise u, puis v =1
3)demonter que a au caree = b au cube equivaut a et b sont respectivment le cube et le caree d un meme entier
4)montrer que si n est le caree dun enteir naturel et cube d un autre alors n =7q
ou n =7q+1
donner un exmple
Salut,
étrange exercice, puisque et
sont des solutions évidentes, sinon:
, donc
divise
; comme
et
sont premiers entre eux,
et
, soit
, ce qui conduit à
.
Pour la question 4), il faut travailler modulo 7, ce qui me semble long (on sait que n=u^3 est congru à n=v^2 [7]). Il faut montrer que dans tous les cas, cela conduit à n=7k ou n=7k+1, ce qui n'est pas immédiat!!! En plus, ça ne sert à rien!
On peut démontrer plus simplement que pour tout entier ; cela répond à la question. Qu'est ce que cela apporte au problème qui est de prouver que
et
?
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