bonjour, j'ai un dm de maths et j'ai des difficultés.est-ce que quelqu'un peut m'aider svp?
Po=1 Pk=(X+j) j allant de 0 à k-1
P Rn[X], on note f(P)=P(X)-P(X-1).
on sait que (Po,...,Pn) est une base de Rn[x]
et f est un endomorphisme de Rn[x]
on doit calculer f(Pk) pour k {0,...,n}
j'ai trouvé f(Pk)=k(X+j), j allant de 0 à k-2.
1)ensuite on doit montrer que Imf=Rn-1[X] et kerf=Ro[X]
ca j'ai pas réussi!
2)soit m {0,...,n-1},
on doit justifier que Xm admet au moins un antécédent Qm par f et qu'alors l'ensemble des antécédent de X[/sup]m par f est {Qm+l, lR}
est ce que je peux justifier par Imf=Rn-1 et que X[sup]mRn-1
ensuite j'ai fait f(Qm+l)=f(Qm)+f(l)=Xm car lRo[X].
3)puis on doit en déduire que !RmRn[X], Rm(0)=0 et f(Rm)=Xm
ca j'ai pas réussi
voilà, l'ex n'est pas fini mais si vous pouviez m'aidez pour la question 1 et 3 svp?
1/
Comme est une base de
et
donc
car les forment une famille polynômes de degrés échelonnés (de 0 à n-1) donc une base de
Salut
les premières questions que tu as trouvé c'est bon
ensuite pour 1 tu peux remarquer que Imf est incluse dans car le fait de faire P(x)-P(x-1) enlève le terme prédominant tu n'as qu'a remplacer P par pour t'en rendre compte.
Deplus donc tu contiens une base de ton ev
ainsi tu as dim(imf)>=n ce qui te permet de conclure car dim
De plus P appartient à Kerf cela implique P(X)=P(X-1) donc P est constant
c'est ce qui t'es demandé
Pour ce qui est de l'antécédent cela se justifie par la question précèdente comme tu l'as remarqué
Parcontre tu as montré uniquement que Qn+l était antécédents pas que tous les antécédents étaient de cette forme la.
Pour cela il suffit de dire que si r est un autre antécédent alors f(Qn-R)=f(Qn)-f(R)=0 donc Qn-R=l avec l dans R d'après la question précéédente à nouveau.
Pour le 3 l'unique antécédent est de la forme Qn(X)-Qn(0)
tu peux vérifier aisément qu'il vérifie ce qui t'es demandé et que c'est le seul.
Si tu veux plus de détails n'hésite pas.
2/ oui la justification est bonne pour la première partie (
En revanche la fin n'est pas très propre.
Il vaut mieux écrire
Soit tel que
3/
Soit tel que défini au 2/ et
On a
Supposons qu'il existe un second polynôme vérifiant
D'après la question 2/,
en prenant la valeur en 0
existe et est unique
bonsoir!
merci franz et titimarion pour votre aide!
c'est ok j'ai bien compris ce que vous avez fait
la suite de l'ex est la suivante si vous pourriez encore m'aidez svp?
on doit montrer que si m 1 alors (X+1) /Rm et k^m=Rm(n) , k allant de 1 à n .
ca j'ai pas du tout réussi
4)ensuite on sait que pour m {1,...,n-1}, R'm(X)-R'm(X-1)=mX^(m-1)
et on doit en déduire que R'm=mRm-1+R'm(0).
j'ai pas réussi , j'ai juste:R'm(X)=mRm-1(X)-mRm-1(X-1)+R'm(X-1).
puis on sait que Rm(1)=1
soit Sn-1 le polynome tq S'm-1=Rm-1 et Sm-1(0)=0
de plus Rm=mSm-1+(1-mSm-1(1))X
et on doit calculer R1,R2,R3,R4 en utilisant le procédédé de 4) .
mais j'y arrive pas non plus
et enfin on doit en déduire k^m pour m {1,2,3,4} (et n >=m+1)
voilà si vous avez des idées...
merci!
Sn-1 le polynome tq S'm-1=Rm-1 et Sm-1(0)=0
de plus Rm=mSm-1+(1-mSm-1(1))X
et en prenant la valeur en 0
en prenant la valeur en 1 on obtient soit
Donc
bonjour franz! merci encore pour ton aide!
j'ai bien compris ce que tu as fais, c'est très clair!
merci bcp!
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