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Exerc ice sur Suite ! petit probleme !

Posté par toba (invité) 05-10-06 à 21:13

Bonsoir !
Voila , un petit exercice que je n'arrive pas a resoudre .

données:
1$U_{n}=∑p=1n 1/p
1$W_{n}=∑p=n+12n 1/p

1. Demontrer que , pour tout entier naturel non nul n , Wn ≥ 1/2 .

--> donc , j'utilise la reccurecne , et je trouve : Wn+1 = Wn + 1/[2(n+1)(2n+1)]  , et comme n≥1 , alors Wn+1≥ 1/2 , puis je conclus  .

2. Etablir , pour tout entier naturel non nul m , l'egalité U2m+1 - U2m = W2m

Je m'embrouille avec pleins de calcules qui sont faux... voila mon probleme !
voila:

U2(m+1) - U2m = 1$ \displaystyle \sum_{p=1}^{2m+2} 1/p -\sum_{p=1}^{2m} 1/p=\sum_{p=1}^{2m} 1/p - \sum_{p=1}^{2m} 1/p + \frac{1}{(2m+1)}+\frac{1}{(2m+2)}= \frac{2m+2}{(2m+1)(2m+2)}+\frac{2m+1}{(2m+2)(2m+1)}=\frac{4m+3}{4m^2+6m+2} = \frac{1}{(2m+1)}+\frac{1}{(2m+2)}

Et :

W2m= 1$ \displaystyle \sum_{p=2m+1}^{4m} 1/p = \frac{1}{2m+1}+\frac{1}{2m+2}+...+\frac{1}{4m}

Voila et la je ne vois pas comment W2m = U2m+1[/sub[ - U[sub]2m  !   Car pour W2m ya deja = \frac{1}{2m+1}+\frac{1}{2m+2}+..

3. En deduire que (Un) n'est pas majorée .
4. Conclure sur la convergence du (Un)

Voila merci beaucoup si vous pouvez bien m'aider !

merci a+

Posté par toba (invité)re : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 05-10-06 à 21:35

c'est trop dur ? svp ! Merci

Posté par toba (invité)re : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 05-10-06 à 21:36

c'est principalement pour la question 2 qui me pose probleme !

Posté par
garnouillere : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 05-10-06 à 21:48

à mon avis, tu as des erreurs d'énoncé...

dans Wn, ce n'est pas de p=n+1 à p=2n mais de p=n+1 à p=n+2... non?

Posté par toba (invité)re : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 05-10-06 à 21:53

non ! c'est pour ça que je comprend pas !
p=n+1 jusqu'a 2n et on sais que Wn >= 1/2 c'est tout .

Je peux juste te donner la suite de la question qui pourra peut etre t'aider , en tout cas pas moi :

2. .. puis en deduire , que U(2^(m+1)) = 1 + Somme k=1 jusqu'a m  W(2^k)

voila , désolé pour l'ecriture !

Posté par
garnouillere : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 05-10-06 à 21:59

alors pour la question 2, c'est :

U(2m+1)-U(2m)=W(2m)

Posté par toba (invité)re : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 05-10-06 à 22:02

oui

Posté par toba (invité)re : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 05-10-06 à 22:04

et c'est W(2^m)

Posté par
garnouillere : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 05-10-06 à 22:04

euh.. disons W(2m)

et la clef , c'est 2*2m=2m+1

Posté par toba (invité)re : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 05-10-06 à 22:05

merci je vais tester !

Posté par
garnouillere : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 05-10-06 à 22:05

ok, il y avait bien une erreur d'énoncé ...

tu as confonu 2m et 2m....

Posté par toba (invité)re : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 05-10-06 à 22:06

oui désolé

Posté par toba (invité)re : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 05-10-06 à 22:18

donc U(n+1) - Un = 1 / (2m *2)
Et Wn , je voudrais savoir si k=n+1 , ferait k=2m+1 ou k=2m +1 ? car si c'est le premier  , bah c'est juste !

Wn = 1 / (2m *2)

Posté par
garnouillere : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 05-10-06 à 22:23

je ne comprends pas ton problème......
avec les corrections, "ça marche"....

Posté par toba (invité)re : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 05-10-06 à 22:33

non je voulais dire que dans une somme de plusieur terme sur une suite , le k= ?
prennons U2m , pour le k=n+1 , le k= ? avec U2m .
soit le n = 2m , donc k= 2m + 1
soit le n = m, donc k = 2m+1

je sais pas si tu voie.
merci

Posté par
garnouillere : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 05-10-06 à 22:36

si k=2m alors k+1 = 2m+1
mais 2k=2*2m=2m+1

c'est bon maintenant?

Posté par toba (invité)re : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 05-10-06 à 22:43

1$ \displaystyle \sum_{k=n+1}^{2n} 1/p

Voila , pour U2m

--> 1$ \displaystyle \sum_{k=2^m+1}^{2*2^m} 1/p

Et si je developpe ça :

1/(2m+1) + .. + 1/2m+1

Et U(n+1)- Un = 1/2m+1

Donc Wn n'est pas egale a U(n+1)- Un  ?
merci

Posté par toba (invité)re : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 05-10-06 à 23:10

svp ! garnouille merci

Posté par
garnouillere : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 06-10-06 à 17:53

U2m+1=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+....+\frac{1}{2^m}+\frac{1}{2^m+1}+.....+\frac{1}{2^{m+1}}

W_{2^m}=\frac{1}{2^m}+\frac{1}{2^m+1}+......+\frac{1}{2\times 2^m

Posté par toba (invité)re : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 06-10-06 à 17:54

oui , mais est-ce que n qui est dans le sigma , n=2^(m+1) ou n = m+1 ?

Mercii

Posté par
garnouillere : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 06-10-06 à 17:56

c'est n=2^(m+1)

Posté par
garnouillere : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 06-10-06 à 17:59

de p=1 à p=2^(m+1), on a :
1, 2, 3, 4=2², 5, 6, 7, 8=2^3,9,10,...., (2^m)-1 , 2^m, (2^m)+1,...., 2^(m+1)

Posté par toba (invité)re : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 06-10-06 à 18:00

1$ Wn = \displaystyle \sum_{p=n+1}^{2n} 1/p tu es d'accord ?
Donc 1$ W_{2^m} = \displaystyle \sum_{p=2^m +1}^{2*2^m} 1/p
Donc 1$ W_{2^m} = \frac {1}{2^m + 1 ) + \frac {1}{2^m + 2 ) +..+ \frac {1}{2^{m+1})

Et U(n+1)-Un = [tex] \frac {1}{2^{m+1}

Donc c'est bien different entre U2m+1- U2m et W2m

Voila ?

Merci

Posté par toba (invité)re : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 06-10-06 à 18:01

1$ Wn = \displaystyle \sum_{p=n+1}^{2n} 1/p tu es d'accord ?
Donc 1$ W_{2^m} = \displaystyle \sum_{p=2^m +1}^{2*2^m} 1/p
Donc 1$ W_{2^m} = \frac {1}{2^m + 1 } + \frac {1}{2^m + 2 } +..+ \frac {1}{2^{m+1}}

Et U(n+1)-Un = \frac {1}{2^{m+1}

Donc c'est bien different entre U2m+1- U2m et W2m

Voila ?

Merci

Posté par
garnouillere : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 06-10-06 à 18:05

non...

U_{2^{m+1}}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+....+\frac{1}{2^m}+\frac{1}{2^m+1}+....+\frac{1}{2^{m+1}}

Posté par toba (invité)re : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 06-10-06 à 18:07

oui voila mon erreur merci !

Posté par toba (invité)re : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 06-10-06 à 18:10

1$ W_{2^m} = \frac {1}{2^m + 1 } + \frac {1}{2^m + 2 } +..+ \frac {1}{2^{m+1}}

Et  1$ U_{2^{m+1}} - U_{2^{m}} = \frac {1}{2^{m}+1} + \frac {1}{2^{m}+2} +.. + \frac {1}{2^{m+1}}

Voila !
Merci

Posté par
garnouillere : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 06-10-06 à 18:13

ouf!

Posté par toba (invité)re : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 06-10-06 à 18:14

MERCI BEAUCOUP GRANOUILLE  !

Bon a partir de la , il faut que je retrouve 1$ U_{2^{m+1}} = 1 + \sum \displaymode {k=1}{m} W_{2^k}

Posté par toba (invité)re : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 06-10-06 à 18:16

U_{2^{m+1}} = 1 + \sum (k=1 jusqu'a m) W_{2^k}

Posté par toba (invité)re : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 06-10-06 à 18:16

je vais chercher !

Posté par
garnouillere : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 06-10-06 à 18:21

excellente idée!

Posté par toba (invité)re : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 06-10-06 à 18:46

W_{2^k}= \sum (p=2^k +1 jusqu'a'2^{k+1}) = \frac {1}{2^k +1} + \frac {1}{2^k +2} + .. + \frac {1}{2^{k+1}}

Donc :

\sum (k=1 jusqu'a'm})W_{2^k} = ( \frac {1}{2^1+1} + \frac {1}{2^1+2} + .. + \frac {1}{2^{1+1}}) + ( \frac {1}{2^2+1} + \frac {1}{2^2+2} + .. + \frac {1}{2^{2+1}}) + ( \frac {1}{2^3+1} + \frac {1}{2^3+2} + .. + \frac {1}{2^{3+1}}) + .. + (\frac {1}{2^m+1} + \frac {1}{2^m+2} + .. + \frac {1}{2^{m+1}})
= ( \frac {1}{3} + \frac {1}{4}) + ( \frac {1}{5} + \frac {1}{6} + \frac {1}{7} + \frac {1}{8})+ (\frac {1}{9} + \frac {1}{10}) + ( \frac {1}{11} + \frac {1}{12} + ... + \frac {1}{16} ) + (\frac {1}{2^m+1} + \frac {1}{2^m+2} + .. + \frac {1}{2^{m+1}}) = \frac {1}{3} + \frac {1}{4} + \frac {1}{5} +... + \frac {1}{2^{m+1}})

Donc :
1 + \sum (k=1 jusqu'a'm})W_{2^k} = 1 + \frac {1}{3} + \frac {1}{4} + \frac {1}{5} +... + \frac {1}{2^{m+1}}

Et U_{2^{m+1}} = 1 + \frac {1}{2} + \frac {1}{3} + \frac {1}{4} + \frac {1}{5} +... + \frac {1}{2^{m+1}}

Donc , je remarque qu'il manque un '1/2' , dans 1 + \sum (k=1 jusqu'a'm})W_{2^k} , ou est mon erreur ? ! je ne la voi pas .

Merci beaucoup !

Posté par
garnouillere : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 06-10-06 à 19:54

je suis d'accord avec toi, il manque 1/2
tu as écrit deux ou tois sottises au passage mais sur le principe, je suis d'accord

je te propose une autre présentation:

u_{2^{m+1}}-U_{2^m}=W_{2^m}

Posté par toba (invité)re : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 06-10-06 à 19:56

c'etait ce qu'il fallait demontrer a la question precedente ! je ne vois pas ce que tu veux dire?
en tout cas merci de prendre ton temps pour m'aider !

Posté par
garnouillere : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 06-10-06 à 19:57

U_{2^m}-U_{2^{m-1}}=W_{2^{m-1}}on continue...
...
...
.....
U_{2^3}-U_{2^2}}=W_{2^2}
U_{2^2}-U_{2^{1}}=W_{2^{1}}

puis, tu additionnes membre à membre....

Posté par toba (invité)re : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 06-10-06 à 19:58

a je voi , tu veux dire que W2^m + U2^m = le resultat que je viens de trouver ?

Posté par toba (invité)re : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 06-10-06 à 19:58

j'etais en train decrire quand tu a poster , je regarde ce que tu viens decrire !

Posté par
garnouillere : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 06-10-06 à 19:59

j'ai posté trop vite, l'idée c'est qu'à l'addition, il y a beaucoup de simplifications!

et je suis d'accord avec ton 1/2!

Posté par toba (invité)re : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 06-10-06 à 20:00

peut etre une erreur d'enoncer ?

Posté par toba (invité)re : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 06-10-06 à 20:04

d'apres ton raisonnement de soustraction :
U2m+1 - U2= \displaystyle \sum_{k=1}^{m} W_{2^n}

Posté par
garnouillere : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 06-10-06 à 20:05

moi, je trouve après addition :

U_{2^{m+1}}-U_2=somme des W_{2^k}de k=1 à  2m

et donc : U_{2^{m+1}}=U_2+ somme des W_{2^k}de k=1 à  2m

U_{2^{m+1}}=1+1/2+somme des W_{2^k}de k=1 à  2m

Posté par toba (invité)re : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 06-10-06 à 20:08

on part de W21 a W2m , donc c'est la somme de k=1 a m pour \displaystyle \sum_{k=1}^{m} W_{2^k}

Posté par
garnouillere : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 06-10-06 à 20:10

tu es plus concentré que moi, tant mieux!

Posté par toba (invité)re : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 06-10-06 à 20:12

donc U_{2^{m+1}} = \displaystyle \sum_{k=1}^{m} W_{2^k} + U_{2}

Posté par
garnouillere : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 06-10-06 à 20:13

oui, ok... sauf erreur de ma part....et comme U2=1+1/2, il y a un petit soucis avec l'énoncé....

Posté par toba (invité)re : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 06-10-06 à 20:16

et la donc :
donc U_{2^{m+1}} = (W_{2^1} + .. + W_{2^m} ) + U_{2} = (1/3 + 1/4 + 1/5 + .. + 1/2^{m+1} ) + U_{2} = (1/3 + 1/4 + 1/5 + .. + 1/2^{m+1} ) + 1/1 + 1/2 \\ = 1 + 1/2 + 1/3 + .. + 1/(2^{m+1})

Donc : U_{2^{m+1}} = 1 + \displaystyle \sum_{k=1}^{m} W_{2^k}

Posté par
garnouillere : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 06-10-06 à 20:22

non, tu as écris des sottises dans la somme des Wn, c'est une somme de sommes...
et on a déjà :
U_{2^{m+1 }}=1+\frac{1}{2}+somme....

Posté par toba (invité)re : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 06-10-06 à 20:22

oups , c'est U2 + Sigma ...

3. En deduire que (Un) n'est pas majorée . Pour montrer quelle n'est pas majoré , il faut que je fasse quoi comme Hyppothese sur Un , pour ensuite faire avec la reccurence . §

Merci !

Posté par toba (invité)re : Exerc ice sur Suite ! petit probleme ! 06-10-06 à 20:31

W1 = 1/2
W2 = 1/3 + 1/4
W3 = 1/4 + 1/5 + 1/6
w4 = 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8
W5 = 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10
W6 = 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12
....
Je vois mes erreurs . mais je ne vois pas alors comment resoudre la relation .

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