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EXERCIce ( x , y et z)
sujet :
soit x, y et z non nuls tel que : x+y+z= 1/x + 1/y + 1/z et xyz =1
montrez que l'un des nombres x , y ou z est égal à 1
Où j'en suis :
x+x+z = (yz + xz + xy)/xyz
= yz + xz + xy
x= yz + xz + xy- y- z
= y(z+x-1)+z(x-1)
je ne sais que faire après merci de m'aider en me montrant les étapes suivies
Bonsoir, imagine un polynôme du 3 ième degré qui a pour racine x,y et z, il s'écrirait (X-x)(Y-y)(X-z)=0 donc X3-(x+y+z)X²+(xy+yz+zx)X-xyz=0 donc si on pose x+y+z=s il s'écrirait X3-sX²+sX-1=0
Mais par magie, il se trouve que X3-sX²+sX-1= (X-1)(X²-(s-1)X+1) et donc on en déduit l'une des racines vaut 1
mais c'est vrai que pour un niveau seconde, tu vas trouver ça un peu artificiel. Je suis sûr que mes collègues vont trouver une solution plus naturelle 
on a pas encore étudié les polynômes donc je peux pas résoudre l'exercice vc cette méthode y aurait pas une autre solution plus facile ?
C'est un exercice complètement "débile" pour le niveau seconde. Sauf à ce que tu sois dans établissement élitiste parisien qui ne respecte pas les programmes.
Mais au fait quel pays Nadia? Maroc ou France? Parce que les programmes sont très différents... C'est pour ça qu'il faut indiquer le pays!
Bonjour Nadia
Je peux te proposer une solution basée sur la factorisation.
Yu poses y = 1/xz et tu remplaces y dans la 1ère égalité. Ensuite tu obtiens quelque chose comme f(x,z) = 0 .
Dans f(x,z), tu te "débrouilles" pour factoriser (1-z) puis dans l'expression restante (1 - x) ; tu obtiens un produit de trois facteurs nuls et tu pourras conclure: ou bien z = 1, ou bien x = 1 sinon y = 1.
Bon courage et si tu y arrives, passe directement en terminale à la fin de l'année!
Remarque: tu peux faire la même chose en posant x = 1/yz ou z = 1/xy.
c'est un programme marocain en fait y a une petite modification dans l'énoncé :
x+y+z+x+z = (yz + xz + xy)/xyz
d'abord ca veut dire que ce : f(x,z) = 0 .
merci de m'éclaircir la méthode car j'y comprends rien
sujet :
soit x, y et z non nuls tel que : x+y+z= 1/x + 1/y + 1/z et xyz =1
montrez que l'un des nombres x , y ou z est égal à 1
Où j'en suis :
x+x+z = (yz + xz + xy)/xyz
= yz + xz + xy
x= yz + xz + xy- y- z
= y(z+x-1)+z(x-1)
je ne sais que faire après merci de m'aider en me montrant les étapes suivies
faut que la solution soit sans polynomes
*** message déplacé ***
* Océane > le multi-post n'est pas toléré sur le forum ! *
D'où : x-1= 0 et y-1=0 et z-1=0
ok, mais comment t'as eu l(dée du développement (x-1) (y-1) (z-1)?
*** message déplacé ***
bonsoir
il faut que un des trois nombres soit égal à 1
x = 1 équivaut à x-1 = 0
y = 1 équivaut à y - 1 = 0
z = 1 équivaut à z-1 = 0
d'où l'idée de faire (x-1) (y-1) (z-1)
*** message déplacé ***
merci infiniment et pour factoriser l'expression suivante SVP
A= x² (y - z)+ y²(z - x)+ z²(x - y)
j'arrive pas a trouver un facteur en commun
*** message déplacé ***
A= x²(y-x)+x²(x-z)-y²(x-z)-z²(y-x)
= (x-z)(x²-y²)+(y-x)(x²-z²)
= (x-z)(x²-y²)-(x-y)(x²-z²)
= (x-y)((x-z)(x+y)-(x-z)(x+z))
= (x-y)((x-z)(x+y-x-z)
= (x-y)(x-z)(y-z)
pourriez voir si cest juste,?
*** message déplacé ***
bonsoir
petite erreur à la quatrième ligne (x-z) est en trop
sinon c'est beau !
*** message déplacé ***
= (x-z)(x²-y²)-(x-y)(x²-z²)
= (x-y)((x-z)(x+y)-(x-z)(x+z))
de la ligne 3 et 4 j'ai anticipé au lieu de mettre
(x-y)((x-z)(x+y)-(x²-z²))=(x-y)((x-z)(x+y)-(x-z)(x+z))
*** message déplacé ***
bonsoir
je reprends ton texte et enlève la petite erreur
A= x²(y-x)+x²(x-z)-y²(x-z)-z²(y-x)
= (x-z)(x²-y²)+(y-x)(x²-z²)
= (x-z)(x²-y²)-(x-y)(x²-z²)
= (x-y)((x-z)(x+y)-(x+z))
= (x-y)((x-z)(x+y-x-z)
= (x-y)(x-z)(y-z)
*** message déplacé ***
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