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exercice
Bonjour
Pouvez vous m'aider SVP MERCI
Inspirés du theoreme de pythagore on cherche des entiers strictement positifs solutions de l'equation x²+y²=z²
ce sont les longueurs des cotes d'un triangle rectangle on peut voir z comme la longueur de l'hypotenuse
On appelle une solution un triplet pythagoricien
Par exemple(3,4,5) est :3²+4²=5²
Soit a et b deux entiers strictement positifs a>b
Demontrer que les trois entiers a²+b² ;2ab et a²-b² forment un triplet pythagoricien
En deduire alors 10 triplets pythagoriciens tous distincts
Trouver un triplet phytagocicien qui ne peut pas etre obtenu par cette methode
Bonjour,
"Démontrer que" c'est exprimer le théorème de Pythagore en développant
(a²+b²)², (2ab)² et (a²-b²)²
en déduire dix triplets c'est choisir au hasard 10 couples de valeurs de a et b
la dernière question nécessite soit du bol soit des connaissances au delà du niveau.
le triplet (9, 12, 15) est bien un triplet de Pythagore (le vérifier)
et pourtant il est impossible (en le vérifiant par essai systématique de toutes les valeurs entières de a et b < 4) d'obtenir 15 = a² + b²
tu veux dire que tu ne sais pas choisir dix couples (a,b) au hasard et calculer les valeurs de a²-b², 2ab et a²+b² correspondantes ???
"au hasard" pas tout à fait il suffit juste de choisir a > b (sinon a² - b² serait négatif et un côté négatif ça la fiche mal)
mais en dehors de ça c'est vraiment n'importe quelles valeurs (non nulle avec a > b)
tiens je t'en donne
a = 2, b = 1 donne : 2² - 1² = 3, 2*2*1 = 4, 2² + 1² = 5 (tiens on le retrouve celui là)
a = 3, b = 2 donne : 3² - 2² = 5, 2*3*2 = 12, 3² + 2² = 13 et le triplet (5, 12, 13)
a = 4, b = 1 donne etc ...
...
a = 23, b = 17 donne : (un gros celui là)
tu peux en trouver des dizaines et des dizaines, oui ...
l'exercice a pour but de prouver que les formules
x = a² - b², y = 2ab, z = a² + b² génèrent des triplets de Pythagore, quelles que soient le valeurs de a, b, c
mais que par contre ces formules sont "insuffisantes" en ce sens qu'il existe des triplets (x, y, z) qui ne sont pas obtenus par ces formules
par exemple celui que je donnais :
(9, 12, 15) et on a bien 9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15²
Mais il est impossible de trouver des nombres entiers a et b tels que
9 = a² - b²
12 = 2ab
15 = a² + b²
et ceci peut se prouver
par exemple comme je le disais en essayant tous les couples de valeurs de a et de b < 4 (pourquoi 4 ? parce que 4² = 16 > 15) et pour chacun en calculant a² + b² et en vérifiant que ce n'est jamais = 15
on peut aller plus vite en remarquant que le seul nombre pair du triplet étant 12, c'est bien lui qui vaudrait 2ab
et donc on se contente des a et b diviseurs de 6 (2ab = 12 donne ab = 6)
il n'y en a pas tant que ça :
a = 6, b = 1
a = 3, b = 2
et c'est tout (a > b !)
aucun de ces deux couples de valeurs ne donne a² + b² = 15
6² + 1² = 37
et 3² + 2² = 13
donc le triplet (9, 12, 15) ne peut pas être obtenu par les formules citées.
(il y en a bien d'autres, celui-ci est le plus petit)
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