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Bonjour
a²+ab+b² = (a+b)²-ab ....
puis une somme de nombres tous positifs ne peut être nulle que si chacun des nombres est nul
quelles "autres" solutions ? tu n'en as proposé aucune ....
et la question initiale n'est pas "résoudre l'équation", mais "montrer une équivalence" ...
Un autre biais pour ce problème (par simple curiosité) :
si a et b sont solutions du problème alors ils sont de même signe et -a et -b sont également solutions.
Donc on considère a > 0 et b > 0 (car a = b = 0 est solution et a > 0, b = 0 ne sont pas solutions)
On écrit b = 
a et on est amené à chercher un > 0 tel que 1++² = 0.
ouais alors pourquoi faire compliqué ?
si on montre que a et b ont même signe alors le pb est résolu :
parce que si la somme de trois nombres positifs est nulle alors la conclusion est immédiate ...
mais le pb c'est que si (a, b) est une solution alors a et b n'ont pas même signe !!! (condition nécessaire d'après ce qui précède)
On veut montrer que a²+ab+b² = 0 n'admet qu'une solution.
C'est équivalent à (a+b)² = ab
donc ab est positif, donc ab = 0, donc a = 0 ou b = 0 donc l'autre = 0 ... c'est trivial ! Ok, merci.
(Retour de we difficile, lol)
jsvdb
en même temps, une fois que tu as ab>0 ... avec a²+ab+b²=0, somme de trois termes positifs... tu as directement a=b=0
Bonjour,
Je fignole
On veut montrer que a²+ab+b² = 0
n'admet qu'une solution.
Si a²+ab+b² = 0
alors
(a+b)² = ab .
D'où ab
0 .
C'est là que je change :
a²+ab+b² est donc la somme de 3 réels positifs ou nuls.
Cette somme ne peut être nulle que si chacun des 3 termes est nul
lui-même doublé par ouam !!! donc tu es quadruplé par ouam ... 
de toute façon je ne l'avais pas vu comme ça !!
donc
d'après jsvdb
et je ne vois pas pourquoi ab positif entraine ab = 0 par contre on conclut comme je l'ai dit et répété par matheuxmatou puis répété par Sylvieg
par contre je l'avais vu comme cela : donc
(d'après moi !!!)
des deux on conclut ab = 0 cette fois ...
sinon on a classiquement : et on conclut toujours avec le même argument ...
Je n'avais donné qu'une piste, j'explique ce que j'avais en tête :
a²+ab+b²=0 entraîne (a+b)² = ab, et donc a²+ab+b²=0 devient a²+(a+b)²+b²=0, somme nulle de trois nombres positifs qui sont donc tous nuls, d'où a = a+b = b = 0
Sinon, j'ai encore plus compliqué (mais pas dur dans le cas présent) : on pose , on montre que f est convexe (Hessienne définie positive en tout point) et que son min (unique, forcément) est atteint en (0,0)