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Exercice

Posté par
FerreSucre 25-02-20 à 14:23

Bonjour
Je chercherai actuellement des exercices sympathiques à faire, comme des limites un peu particulière, ou des suites intéressantes, ect...
Comme certains exercices que vous m'avez donné auparavant
Si possible, comme d'habitude rien ne vous force à m'en donner, c'est si jamais vous voulez m'en donner un et si jamais vous en avez un sous la main

Merci

Posté par
Glapion Moderateurre : Exercice 25-02-20 à 14:32

Par exemple :

\lim_{n->\infty}(\dfrac{ln(n)}{ln(n+1)})^n

Posté par
FerreSucrere : Exercice 25-02-20 à 14:36

Ok merci beaucoup Glapion je vais y réfléchir

Posté par
FerreSucrere : Exercice 25-02-20 à 15:26

Je t'avoue qu'elle est complexe, je sais pas par où commencer depuis 30 min xD

Posté par
FerreSucrere : Exercice 25-02-20 à 15:36

Déjà on a une forme indéterminée :

1^{\infty}

La puissance est gênante donc j'aurais envie de faire :

\lim_{x\to +\infty}\left(\dfrac{ln(n)}{ln(n+1)}\right)^n = L

\lim_{x\to +\infty}n*ln(\dfrac{ln(n)}{ln(n+1)}) = ln(L)

Forme indéterminée : \infty*0

Posté par
FerreSucrere : Exercice 25-02-20 à 15:43

Je sais pas si ça aide mais bon on essaye xD :

= \lim_{n\to +\infty}n\left[ln(ln(n))-ln(ln(n+1))\right] = ln(L)

Posté par
FerreSucrere : Exercice 25-02-20 à 16:07

Avez vous une idée de par où commencer ? Pour que ça me guide un peu parce que là

Posté par
lakere : Exercice 25-02-20 à 16:57

Bonjour,

Je commencerais par poser n=\dfrac{1}{h} (pour me ramener à des limites en 0)

Ensuite, je prendrais le \ln de l'ensemble et tenterais de me ramener à la limite connue:

    \lim\limits_{X\to 0}\dfrac{\ln(1+X)}{X}=1

Ce n'est certainement pas la seule manière de procéder...

Posté par
FerreSucrere : Exercice 25-02-20 à 18:02

\lim_{n\to +\infty}\left(\dfrac{ln(n)}{ln(n+1)}\right)^n

h = \dfrac{1}{n}

n = \dfrac{1}{h}

\lim_{h\to 0}\left(\dfrac{ln(1/h)}{ln((h+1)/h)}\right)^{1/h} = L

\lim_{h\to 0}\dfrac{1}{h}ln[\left(\dfrac{ln(1/h)}{ln((h+1)/h)}\right)]= ln(L)

\lim_{h\to 0}\dfrac{1}{h}ln[\left(\dfrac{-ln(h)}{ln(h+1)-ln(h)}\right)]= ln(L)

Ça converge d'une lenteur vers 1. C'est incroyable mdr je suis allé jusqu'à 10^{13} et on était à 0.95...
10^4 à 0.87...

Posté par
lakere : Exercice 25-02-20 à 18:10

Évite de mettre des L et des \ln(L) partout. Tu n'es pas assuré de l'existence de cette limite.

Dans le message précédent et à la dernière ligne, tu as encore une forme indéterminée (qui tend vers 0). Mais tu n'as toujours rien prouvé.

Posté par
FerreSucrere : Exercice 25-02-20 à 18:19

Ah oui ça j'avais remarqué t'inquiètes

Posté par
carpediemre : Exercice 25-02-20 à 18:38

salut

on peut montrer que   \ln(n + 1) - \dfrac 2 {n + 1} \le \ln n \le \ln (n + 1) - \dfrac 1 {n + 1}

donc 1 - \dfrac 2 {(n + 1) \ln (n + 1)} \le \dfrac {\ln n} {\ln (n + 1)} \le 1 - \dfrac 1 {(n + 1) \ln (n + 1)}

on prend le logarithme ...

Posté par
FerreSucrere : Exercice 25-02-20 à 20:45

Oui c'est vrai que y'a ta technique ! Je n'y est pas pensé je verrais plus tard

Posté par
FerreSucrere : Exercice 27-02-20 à 11:35

J'aimerai bien trouver une autre technique pour trouver cette limite.

Posté par
lakere : Exercice 27-02-20 à 11:37

Une autre technique que quoi ?

Posté par
FerreSucrere : Exercice 27-02-20 à 12:11

I have an idea. Mais je vous poserai des questions dessus après, sur les séries.

ln(n+1) = ln(n) + \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n²}+\dfrac{1}{3n^3}-\dfrac{1}{4n^4}+....

\lim_{n\to +\infty}\left(\dfrac{ln(n)}{ln(n+1)}\right)^n = \lim_{n\to +\infty}\left(\dfrac{ln(n)}{ln(n) + \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n²}+\dfrac{1}{3n^3}-\dfrac{1}{4n^4}+....}\right)^n

= \lim_{n\to +\infty}\left(1+\dfrac{-(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n²}+\dfrac{1}{3n^3}-\dfrac{1}{4n^4}+....)}{ln(n) + \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n²}+\dfrac{1}{3n^3}-\dfrac{1}{4n^4}+....}\right)^n

(a+b)^n = \sum_{k = 0}^{n}(_k^n)a^{n-k}b^k

Ça va être long !...

= \lim_{n\to +\infty}1^n + n(\dfrac{-(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n²}+\dfrac{1}{3n^3}-\dfrac{1}{4n^4}+....)}{ln(n) + \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n²}+\dfrac{1}{3n^3}-\dfrac{1}{4n^4}+....})+(_2^n)(\dfrac{-(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n²}+\dfrac{1}{3n^3}-\dfrac{1}{4n^4}+....)}{ln(n) + \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n²}+\dfrac{1}{3n^3}-\dfrac{1}{4n^4}+....})    

Ah enfaite je suis pas sûr que ça soit intéressant.

Posté par
FerreSucrere : Exercice 27-02-20 à 12:14

Citation :
    Une autre technique que quoi ?      


Que celle de carpediem qui consiste à encadrer avec d'autres fonctions qui ont la même limite.

Posté par
lakere : Exercice 27-02-20 à 12:16

Employer des séries n'est pas vraiment recommandé...

Sans passer par le changement de variable n=\dfrac{1}{h}, on pouvait procéder comme ceci:

   Si u_n=\left(\dfrac{\ln\,n}{\ln\,(n+1)}\right)^n

On peut prouver (à toi de le faire) que:

\ln\,(u_n)=-\dfrac{\ln\,\left(1+\dfrac{\ln\,\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}{\ln\,n}\right)}{\dfrac{\ln\,\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}{\ln\,n}}\times \dfrac{\ln\,\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}{\dfrac{1}{n}}\times \dfrac{1}{\ln\,n}

  et utiliser ( 2fois) la limite connue: \lim\limits_{X\to 0}\dfrac{\ln\,(1+X)}{X}=1

Posté par
FerreSucrere : Exercice 27-02-20 à 12:22

= \lim_{n\to +\infty}\left(\dfrac{-(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n²}+\dfrac{1}{3n^3}-\dfrac{1}{4n^4}+....)}{ln(n) + \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n²}+\dfrac{1}{3n^3}-\dfrac{1}{4n^4}+....}\right)(n+(_2^n)+(_3^n)+...(_{n-1}^n)+1)

Si je montre que ceci = 0 on est bon non ?

Posté par
FerreSucrere : Exercice 27-02-20 à 12:26

Ah ouais lake, j'ai du mal à m'en sortir à faire apparaître ses limites connues. J'ai toujours l'habitude de vouloir simplifier au maximum le rendu que ça reste indéterminée...

Posté par
FerreSucrere : Exercice 27-02-20 à 12:32

Je n'est pas trop l'expérience !

Posté par
Glapion Moderateurre : Exercice 27-02-20 à 12:42

ça pique les yeux : Je n'ai

Posté par
FerreSucrere : Exercice 27-02-20 à 12:44

Citation :
= \lim_{n\to +\infty}\left(\dfrac{-(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n²}+\dfrac{1}{3n^3}-\dfrac{1}{4n^4}+....)}{ln(n) + \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n²}+\dfrac{1}{3n^3}-\dfrac{1}{4n^4}+....}\right)(n+(_2^n)+(_3^n)+...(_{n-1}^n)+1)

Si je montre que ceci = 0 on est bon non ?


Je me suis trompé. J'ai oublié des coefficients.

Posté par
FerreSucrere : Exercice 27-02-20 à 12:47

Mdr glapion aie même moi...

Posté par
FerreSucrere : Exercice 27-02-20 à 12:48

(n+(_2^n)+(_3^n)+...(_{n-1}^n)+1) ?
Est-ce que tout ceci est inférieur à n!

Posté par
FerreSucrere : Exercice 27-02-20 à 12:49

Enfaite j'ai rien dit ce n'est pas très utile...

Posté par
FerreSucrere : Exercice 28-02-20 à 11:04

J'avais une petite idée en tête. Ça serait de faire la somme des termes d'une suite geo.
De cette façon là :

(\left(\dfrac{-(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n²}+\dfrac{1}{3n^3}-\dfrac{1}{4n^4}+....)}{ln(n) + \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n²}+\dfrac{1}{3n^3}-\dfrac{1}{4n^4}+....}\right)^1+ \left(\dfrac{-(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n²}+\dfrac{1}{3n^3}-\dfrac{1}{4n^4}+....)}{ln(n) + \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n²}+\dfrac{1}{3n^3}-\dfrac{1}{4n^4}+....}\right)^2 +...)(_{n/2}^n)

= \dfrac{1-\left(\dfrac{-(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n²}+\dfrac{1}{3n^3}-\dfrac{1}{4n^4}+....)}{ln(n) + \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n²}+\dfrac{1}{3n^3}-\dfrac{1}{4n^4}+....}\right)^{n+1}}{1-\left(\dfrac{-(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n²}+\dfrac{1}{3n^3}-\dfrac{1}{4n^4}+....)}{ln(n) + \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n²}+\dfrac{1}{3n^3}-\dfrac{1}{4n^4}+....}\right)}

Hmm c'est bizzare ça tendrait vers 1 juste la somme ?


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