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exercice avec des fonctions et des suites
Bonsoir,
J'aurais besoin d'une correction et de quelques explications car certaines questions me posent problème. Je sais, c'est long, mais j'ai vraiment besoin d'aide... Merci
Partie A
f(x)= (2-x)e^x -1 définie sur R
1) Déterminer les limites de la fonction f en - et + infini
--> J'ai trouvé -1 quand x->-inf et +inf quand x->+inf
2) Montrer que la fonction f est continue et dérivable sur R et étudier le signe de sa dérivée.
--> J'ai dit que la fonction f était continue et dérivable sur R comme produit de fonctions continues et dérivables sur R (x->2-x est continue et dérivable sur R et la fonction exponentielle est continue et dérivable sur R)
--> J'ai calculé f' et j'ai trouvé f'(x)=e^x(1-x) mais je ne suis pas sûre qu'elle soit juste. J'ai dit qu'elle était positive sur ]-inf;1[ et négative sur ]1;+inf[
En déduire les variations de la fct f et préciser les valeurs de f(-2), f(0), f(1) et f(2).
--> f est donc croissante sur ]-inf;1[ et décroissante sur ]1;+inf[
J'ai calculé f(-2), f(0), f(1) et f(2)
3) Prouver que la fonction f s'annule uniquement en 2 valeurs que l'on nommera a et b. on prendra a < b. Etudier alors le signe de la fonction f sur l'ensemble des réels et récapituler cette étude dans 1 tableau.
--> f est strictement croissante sur ]-inf;1[ dc d'après le théorème de la bijection, l'équation f(x)=0 admet une unique solution a sur ]-inf;1[
et f est strictement décroissante sur ]1;+inf[ donc d'après le théorème de la bijection, l'équation f(x)=0 admet une unique solution b dans ]1;+inf[
--> Je n'ai pas réussi à étudier le signe de f sur R (avec a et b)
4) A l'aide de la calculatrice, fournir un encadrement d'amplitude 10^-2 des valeurs a et b.
--> j'ai trouvé -1,15 < a < -1,14 et 1,84 < b < 1,85
5) Montrer que e^a = 1/ (2-a)
--> J'ai réussi en utilisant l'expression de f et en remplaçant x par a
Partie B
g(x)= (e^x-1)/(e^x-x)
1) Montrer que e^x-x ne s'annule pas sur R. En déduire que f est définie sur R.
--> J'ai dit que e^x-x ne s'annulait pas sur R car e^x > 0 dc e^x > x
La fonction g est donc définie sur R
2) Déterminer les limites de la fonction g en -inf et en +inf.
--> J'ai trouvé 1 quand x->+inf et -inf quand x->-inf
3) Calculer la dérivée de la fonction g puis, à l'aide des résultats de la partie A, construire le tableau de variations de g.
--> J'ai trouvé g'(x)= [(2-x)e^x-1]/(e^x-x)² = f'x)/(e^x-x)²
et pour le tableau de variation, je ne sais pas
4) Montrer que g(a)= 1/(a-1), le nombre a étant la plus petite des 2 valeurs pour lesquelles la fonction f de la partie A s'annule.
--> J'ai bien trouvé cela en utilisant l'expression de g et e^a=1/ (2-a)
5) Déterminer une primitive de la fonction g sur R. Donner une valeur exacte, puis une valeur décimale approchée à 0,01 près de l'intégrale :
[/sub]0 à 1 (e^x-1)/(e^x-x) dx
--> J'ai trouvé G(x)= Ln (e^x-x)
et la valeur exacte de cette intégrale est Ln(e-1) (
0,54)
Partie C
1) Préciser l'ensemble de définition Dh de la fonction h définie sur cet ensemble par h(x)= Ln (1/(2-x))
Prouver que la fonction h est croissante sur son ensemble de définition et que l'image par h de l'intervalle I=[-2;0] est incluse ds cette intervalle.
--> L'ensemble de déf Dh=]-inf;2[
J'ai dit que la fonction h était croissante sur Dh, ms je n'ai pas réussi à trouver la dérivée de la fonction.
--> Par contre, je ne sais pas comment faire pour prouver que l'image par h de l'intervalle I=[-2;0] est incluse dans D[sub]h ???
2a) Soit la suite (Un) définie pour tout n par : U(0)=-2 et U(n+1)=h(Un)
Monter que U(1) appartient à l'intervalle I.
--> J'ai calculé U(1) et je trouve U(1) environ égal à -1,38 donc U(1) inclus dans I
Prouver par récurrence, à l'aide des variations de h que la suite (Un) a tous ses termes dans l'intervalle I et est croissante.
--> Je ne sais pas comment commencer ma démonstration par récurrence. j'ai dit que U(0) et U(1) sont compris dans I et donc pour l'instant, (Un) est croissante, mais après???
b) On considère la suite (Vn) Définie pour tout n par V([sub][/sub]0)=0 et V(n+1)= h(Vn)
Calculer le terme V(1) et montrer que -2 < U(1) < V(1) < V(0) < 0 (inférieur ou égal)
--> V(1)=-Ln2 et -2 < -1,38 < -0.69 < 0 donc -2 < U(1) < V(1) < V(0) < 0
Etablir par récurrence, à l'aide de la croissance de la fonction h sur I, que pour tout n strictement positif on a :
-2 < Un < Vn < V(n-1) < 0 (inférieur ou égal)
Je ne sais pas comment faire, pourriez-vous m'éclairer un peu svp?
Il y a une suite, mais je crois que je la mettrais plus tard car c'est déjà assez long. Je ne veux pas vous ennuyer. Merci pour votre aide
Partie A
f(x)=(2-x)e^x - 1 ou f(x)= (2-x)e^(x-1)
Partie A:1)limf(x)=-00
x-->+00
2)f'(x)=(1-x)e^x
f(1)=e-1 >0 donc f(x)=0 a*dmet deux sol une sur ]-00 1] et l'autre sur [1,+00[
Bonjour,
Merci d'avoir répondu! Pour la deuxième question, il ne faut rien dire de plus??
Bonne journée!
Bonsoir,
Svp aidez-moi. Merci
Bonne soirée
Bonsoir,
Je voulais que l'on me dise si ce que j'ai fait est juste ou non. Et il y a qq questions que je n'ai pas réussies.
Bonsoir,
Drioui, t'es sûr de la limite de la fonction f en +
(partie A) ??
Bonjour jennifer,
3) Prouver que la fonction f s'annule uniquement en 2 valeurs que l'on nommera a et b. on prendra a < b. Etudier alors le signe de la fonction f sur l'ensemble des réels et récapituler cette étude dans 1 tableau.
--> f est strictement croissante sur ]-inf;1[ dc d'après le théorème de la bijection, l'équation f(x)=0 admet une unique solution a sur ]-inf;1[
et f est strictement décroissante sur ]1;+inf[ donc d'après le théorème de la bijection, l'équation f(x)=0 admet une unique solution b dans ]1;+inf[
--> Je n'ai pas réussi à étudier le signe de f sur R (avec a et b)
C est croissante de -1 à e-1 pour x -oo à 1 en coupant Ox en (a,0)
donc f<0 pour x -oo, a et >0 pour x a,1
C est décroissante de e-1 à -oo pour x 1 à oo en coupant Ox en (b,0)
donc f>0 pour x 1,b et <0 pour x b,+oo
Si tu es là, on continue la "suite" (fournis la partie D)
Ci-joint la courbe
Bonjour Philoux,
Merci pour votre réponse. On peut continuer si vous voulez
>aller....
au 3) tu peux simplifer l'écriture de h
rappel ln(1/A)=ln(A^(-1))=...
tu vois ?
Philoux
Je mets la suite de l'exercice, c'est la suite de la partie C... Mais je n'ai pas réussi cette partie
3a) Soit m la fonction définie sur [0;+[ par m(x)=x-Ln(1+x). Montrer que m est croissante et calculer m(0). En déduire que, pour tout x>0, on a : Ln (1+x)
x.
--> Pour montrer que m est croissante, je dois utiliser le signe de sa dérivée??
--> m(0)= 0
--> x-Ln(1+x) croissante donc x-Ln(1+x) 
0
donc : x Ln(1+x)x
donc : Ln(1+x) x
b) Vérifier que, pour tt entier n :
vn+1-un+1= Ln(1+(un-vn)/(2-vn))
--> je ne sais pas comment faire
En déduire que :
vn+1-un+1 (vn-un)/(2-vn)
Sachant que, pour tt entier n, les termes de la suites (vn) appartiennent à l'intervalle [-2;0], donner un encadrement de 1/(2-vn) et établir que :
vn+1-un+1 1/2(vn-un)
Prouver alors que, pour tt entier naturel n :
vn-un (1/(2)n ) (v0-u0)
Que peut-on en déduire pour la suite de terme général vn-un et pour les suites (un) et (vn)?
4) Donner à l'aide de la calculatrice, un encadrement d'amplitude 10-4 de u10 et v10
--> Je ne sais pas comment donner un encadrement de ces deux termes
Oui, je vois pour la simplification
Pour la suimplification, j'ai trouvé h(x)=-Ln(2-x).
C'est juste?
Oui (écris un l minuscule pou ln)
Tu en fais l'étude ?
Philoux
Eydonc h'(x)= -(-1/(2-x)) = 1/(-2+x)
yes, go on
essaies d'aller le + loin possible, même si tu n'es pas sûre (contrôle 2 fois au lieu d'une ...) : tu vas acquérir de l'autonomie ainsi
Reviens qd tu veux, sinon
Philoux
Je dois être bête, mais je trouve que le signe de la dérivée est négatif...
Ne dis pas ça !!!
Tu as trouvé la dérivée : 1/(-2+x) et ton Domaine de déf (que tu n'as pas donné...) est -oo, 2
Sur cet intervalle quel est le signe de f' ?
Philoux
Sur ]-;2[ h' <0 d'après moi et c pas normal puisqu'on doit trouver que la fonction est croissante
>sorry
f'(x)=1(2-x) j'ai mal contrôlé ton post de 12:03
Philoux
décidemment :
1/(2-x)
Philoux
Je suis un peu bête quand même, c'est une étourderie.
Merci!
Mais je n'ai pas compris la deuxième partie de la question : Prouver que l'image par h de l'intervalle I=[-2;0] est incluse ds cet intervalle ]-:2[.
>Jennifer
Prouver que la fonction h est croissante sur son ensemble de définition et que l'image par h de l'intervalle I=[-2;0] est incluse ds cette intervalle.
en première lecture on ne vois pas à quoi ça sert
Il suffit de dire, ici que l'image de -2,0 est h(-2), h(0) (regardes la courbe) car bijection et que (-2ln2 ; -ln2) est bien inclus dans Df
Continues ?
Philoux
J'ai fait la première démo par récurrence :
-pour n=0, u0 
I
-On suppose la propriété -2<un<0 vraie pour tt n
-2<un<0
dc 0<-un<2
dc 2<2-un<4
dc ln2<ln(2-un)<ln4 (=2ln2)
dc -2ln2<-ln(2-un)<-ln2
dc -2ln2<un+1<-ln2
-1,38<un+1<-0,69
un+1 I et donc pour tt n, la propriété est vraie
De plus, comme (un ) appartient à I quel que soit n, (un) suit la croissance de la fct sur I, elle est donc croissante.
la progression de ta suite avec U0=-2
Merci!
je vais essayer de faire la deuxième, mais elle est me paraît plus dure
Je n'arrive pas à commencer
J'ai vérifié pour le rang 1, mais après, je ne vois pas comment faire...
Je dois faire comme pour l'autre démo?
Comment peut-on avoir vn-1 ??
>oui
Etablir par récurrence, à l'aide de la croissance de la fonction h sur I, que pour tout n strictement positif on a :
-2 < Un < Vn < V(n-1) < 0 (inférieur ou égal)
Tu te sers du fait que h est croissante sur Dh.
-2 < Un
comme h est croissante
h(-2) < h(Un)
-2ln2 < Un+1
et comme -2ln2 > -2
-2 < -2ln2 < Un+1
d'où -2<Un+1
Tu essaies les autres inégalités ?
Philoux
J'ai suivi votre raisonnement...
-2un+1
unvn
Comme h est croissaante : h(un)h(vn)
un+1vn+1
vnvn-1
Comme h est croissante :
h(vn)h(vn-1)
vn+1vn
vn-10
Comme h est croissante :
h(vn-1)h(0)
vn-ln2
vn-0,690
Donc comme c'est vrai pour le rang (n+1), c'est forcément vrai pour tt n :
-2unvnvn-10
as-tu cherché m(x)=x-Ln(1+x) ?
Philoux
3a) J'ai calculé la dérivée : m'(x)=x/(1/x)
J'ai étudié le signe de cette dérivée, m'>0 pour tt x positif, dc m est croissante
Pour m(0), j'ai trouvé 0
La fonction m étant croissante, x-ln(1+x)0
x Ln(1+x)x
Ln(1+x) x
3b) J'ai vérifié que pour tt n : vn+1-un+1=ln[1+(vn-un)/(2-vn)]
Par contre, je ne sais pas comment on peut en déduire que ;
vn+1-un+1 (vn-un)/(2-vn)
>Jennifer
Une coquille dans m', sûrement
ce n'est pas parceque la fonction est croissante qu'elle est obligatoirement positive (ton post de 16:38)
c'est parceque m(0)=0, aussi
Philoux
Ok! Merci
b) Je ne sais pas si mes explications sont justes, mais...
vn+1-un+1=ln[1+(vn-un)/(2-vn)]
Or, ln1=0 et ln[(vn-un)/(2-un)]
d'où : vn+1-un+1 (vn-un)/(2-vn)
Pour l'encadrement de 1/(2-vn), j'ai trouvé :
les termes de (vn) [-2;0] -2vn0
0-vn2
22-vn4
1/41/(2-vn)1/2
>as-tu montré que vn+1-un+1=ln[1+(vn-un)/(2-vn)] ?
Philoux
>attention, ce n'est pas parce que ln1=0
tu as démontré que Ln(1+x) <ou= x
donc ln[1+(vn-un)/(2-vn)] <ou= (vn-un)/(2-vn)]
Philoux
Oui, j'ai montré que vn+1-un+1=ln[1+(vn-un)/(2-vn)]
Merci pour votre aide! Dsl de prendre autant de temps
>bien
tu as montré que : 1/(2-vn) <ou= 1/2
donc tu peux déduire la suite
(penses, par ex, à dire Wn=Vn-Un et à déduire Wn en fct de W0 et q...)
tu as presque fini..
Félicitations Jennifer.
Je dois partir : bon courage et à bientôt sur l'
Philoux
Merci!
je vais essayer de finir et mettre ma réponse...
à bientôt
Bonjour Philoux,
Je devais mettre mes réponses, mais je n'ai pas réussi à finir. Je refais l'exercice pour le recopier au propre, et j'ai un problème avec la limite de g(x) en - (limx
- [(ex-1)/(ex-x)]) ??
J'ai refait mes calculs, et je trouve une FI, je l'ai refait plusieurs fois mais en vain...
Pourriez-vous m'aider un peu svp? Merci
>bonjour Jennifer,
Si tu divise haut et bas par exp(x) ?
Philoux
C'est ce que j'ai fait, mais après, j'ai un pb avec la limite de x/e^x
>n'hésites pas à te ballader sur l'
les paysages sont luxuriants
Croissance comparée des fonctions exponentielles, puissances, logarithmes
Philoux
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