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exercice avec le binôme de newton

Posté par
matholovex 20-10-13 à 11:54

Bonjour à tous,
suite à une série d'exercices avec le binôme de Newton, je suis incapable de résoudre :

\sum_{k=0}^n {n+k}\choose k

merci...

Posté par
Otsircre : exercice avec le binôme de newton 20-10-13 à 11:56

N'oubliez pas les balises Tex...
\sum_{k=0}^n {n+k\choose k} \\ .
Par contre, je ne vois pas d'équation, faut t-il calculer cette somme ?

Posté par
matholovexre : exercice avec le binôme de newton 20-10-13 à 12:04

merci beaucoup je venais tout juste de remarquer que je ne maitrise pas du tout ce langage.
Oui il faut calculer cette somme

Posté par
BenJ80re : exercice avec le binôme de newton 20-10-13 à 12:09

Salut
Utilise déjà la propriété de symétrie de Pascal:
\binom{n}{p} = \binom{n}{n-p}

Posté par
matholovexre : exercice avec le binôme de newton 20-10-13 à 12:11

d'accord merci...

Posté par
BenJ80re : exercice avec le binôme de newton 20-10-13 à 12:19

Tu bloques toujours???
Ensuite changement d'indices en posant par exemple i = n+k.

Posté par
matholovexre : exercice avec le binôme de newton 20-10-13 à 12:21

aie je ne maitrise pas tex, je n'arrive pas à retranscrire mais non je ne trouve pas de cohérence je vais ré-essayer. Oui j'ai changé d'indice mais je suis bloqué je pense avoir mal posé mon calcul

Posté par
BenJ80re : exercice avec le binôme de newton 20-10-13 à 12:25

Normalement tu dois avoir fais ceci:
S_n = \sum_{k=0}^n \binom{n+k}{k} = \sum_{k=0}^n \binom{n+k}{n} = \sum_{i=n}^{2n} \binom{i}{n}
As-tu cela?
(pour l'écriture du binôme sur latex c'est cela \binom{n}{k} )

Posté par
matholovexre : exercice avec le binôme de newton 20-10-13 à 12:38

et de là j'applique la propriété de la symétrie de Pascal n'est-ce pas?

Posté par
BenJ80re : exercice avec le binôme de newton 20-10-13 à 12:40

Non ! x) La formule de pascal:
\binom{n}{p} + \binom{n}{p+1} = \binom{n+1}{p+1}

Mais utilise la de façon astucieuse, i.e, mais en avant une somme télescopique

Posté par
BenJ80re : exercice avec le binôme de newton 20-10-13 à 12:43

mets* x)

J'en profite pour une petite précision
Une somme télescopique est du type:
\sum_{k=s}^t \left[ a_{k+1} - a_{k} \right] = a_{t+1} - a_s

Posté par
matholovexre : exercice avec le binôme de newton 20-10-13 à 12:49

Oh.. je n'ai jamais évoqué les sommes téléscopiques mais merci je vais essayer de déchiffrer tout ça x) c'est gentil

Posté par
BenJ80re : exercice avec le binôme de newton 20-10-13 à 12:51

Tout le plaisir est pour moi

Posté par
matholovexre : exercice avec le binôme de newton 20-10-13 à 13:37

c'est gentil mais je crois que je vais devoir demander des explications orales car je n'y parviens plus j'ai tourné cette somme dans tous les sens x)
merci de votre aide et d'avoir tenté de m'expliquer

Posté par
BenJ80re : exercice avec le binôme de newton 20-10-13 à 17:06

Bah regarde
\sum_{i=n}^{2n} \binom{i}{n} = \sum_{i=n}^{2n} \left[\binom{i + 1}{n + 1} - \binom{i}{n+1} \right]
Ca c'est une somme télescopique

Posté par
matholovexre : exercice avec le binôme de newton 20-10-13 à 17:58

d'accord merci donc de là je peux appliquer cette fameuse formule de pascal!!!?
dans la rédaction faut-il préciser ce que je fais? citer par exemple l'usage de la formule de pascal, de la somme telescopique?Etc

Posté par
BenJ80re : exercice avec le binôme de newton 20-10-13 à 19:31

Je l'ai utilisé la formule de Pascal: \binom{i}{n} = \binom{i+1}{n+1} - \binom{i}{n+1} x)
pour la rédaction, par ligne de calcul, si besoin est, tu donnes l'étape ("symétrie de pascal", puis "changement d'indice", puis "formule de pascal" et enfin "par telescopie")
A ta somme tu obtiens bien S_n = \binom{2n +1}{n+1} ???

Posté par
hiphigere 20-10-13 à 19:58

salut .
benj80 : pourquoi à ton post de 12h25 tu as 2n en borne supérieur ?

Posté par
BenJ80re : exercice avec le binôme de newton 20-10-13 à 20:07

changement d'indice i = n + k et comme k va de 0 à n alors i va de n à 2n

Posté par
matholovexre : exercice avec le binôme de newton 20-10-13 à 21:57

Oui grâce à ton post j'ai pu parvenir à cette même somme. Merci!!! Je commence à comprendre depuis ''12h'' sur cette somme x)
Ok pour la rédaction

Posté par
BenJ80re : exercice avec le binôme de newton 20-10-13 à 22:45

Parfait

Posté par
matholovexre : exercice avec le binôme de newton 21-10-13 à 11:05

merci à tous!!!


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