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J'ai compris l'exercice kaiser, mais j'ai toujours un doute!
Je n'ai aucune proposition de mon cours qui me permet d'affimer que :
f un homomorphisme de A dans B
si I est un idéal premier de A contenant E, alors f(I) est un idéal premier de B contenant f(E) !
non, ça c'est faux : il faudrait supposer au moins que f est surjective.
Ici, on avait quand même de bonnes hypothèses (on disposait d'un isomorphisme ce qui n'est pas rien).
Kaiser
Donc au moins la surjectivité.
Mais les propositions de mon cours on a que "contenant ker(f)", c'est pourquoi je bloque !
Je ne vois pas d'ou cela vient
Je suis de retour.
Le fait que l'image d'un idéal par un homomorphisme surjectif est idéal est toujours vrai.
Si I est premier, si on veut que cette image soit elle aussi un idéal premier, on a besoin que le noyau soit inclus dedans.
En effet, voici la preuve de ce résultat.
Je considère donc deux anneaux A et B, un homomorphisme surjectif f de A dans B.
Soit I un idéal premier de I contenant le noyau de f.
Montrons qu f(I) est premier.
Soit donc y dans f(I) et supposons que l'on ait y=uv avec u et v dans B.
Il faut montrer que u ou v est dans f(I).
f étant surjectif, on considère u' et v' des éléments de I tel que u=f(u') et v=f(v').
Ainsi, y=uv=f(u')f(v')=f(u'v').
Comme y est dans f(I), il existe x dans I tel que y=f(x).
Par suite, f(x)=f(u'v'), d'où f(u'v'-x)=0
cela veut donc dire que u'v'-x est dans le noyau de f, donc u'v'-x est dans I(car I contient le noyau).
Or x est dans I donc , I étant un groupe pour l'addition, u'v'=(u'v'-x)+x est dans I.
Or I est un idéal premier, donc u' ou v' est dans I.
Supposons par exemple que u' est dans I, alors u=f(u') est dans f(I) et donc f(I) est premier, d'où le résultat.
J'essaie de trouver un contre-exemple lorsque I ne contient pas le noyau.
Kaiser
Soit I un idéal premier de I contenant le noyau de f.
plutôt de A ?
Je suis ok sur la demonstration, mais dans l'exercice on avait quelque chose du genre :
si I est un idéal premier de A contenant E, alors f(I) est un idéal premier de B contenant f(E) (avec E=Ax je pense)
plutôt de A ?
oui
Je suis ok sur la demonstration, mais dans l'exercice on avait quelque chose du genre :
si I est un idéal premier de A contenant E, alors f(I) est un idéal premier de B contenant f(E) (avec E=Ax je pense)
Le fait que f(I) est premier découle du résultat démontré précédemment : comme f est bijective alors f est surjective et son noyau est réduit à 0 (en particulier, n'importe quel idéal contient le noyau).
Sinon, le fait que f(I) contienne f(E) est immédiat : E est inclus dans I donc f(E) est inclus dans f(I).
Kaiser
pourquoi as-tu remis ker(f) à droite (ça n'a pas de sens de toute façon car les éléments ne vivent pas dans le même ensemble) ?
Kaiser
ok kaiser!
Bon je vais reprendre tout cela, si j'ai un souci je re !!
Merci pour tout !!!
(qu'est-ce que je ferais sans toi ? Bah pas grand chose :p)
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