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Exercice Complet d'Algèbre ! (suite)
C'est la suite de ce topic 
Exercice Complet d'Algèbre !;
Donc il est plus correct d'écrire :
H_aldnoer > oui : tu peux aussi dire plus simplement que ça vaut
Cauchy > non, non ! ça c'est autre chose ( pour celui dont tu parles, on n'en avait fait "que" 3 topics et demi à peu près : en gros plus de 500 messages).
Kaiser
Depuis septembre, je me connecte genre une fois par semaine et à chaque fois tout en haut je vois exercice complet d'algèbre(suite) avec toi, robby et kaiser 
Tu dois sûrement parler de celui-là : Un problème d'algèbre complet
Bonne lecture ! 
Kaiser
Ensuite, on utilise ma remarque de mon message posté le 24/10/2007 à 00:09 : Exercice Complet d'Algèbre !
Il faut commencer par déterminer les idéaux premiers de qui contiennent
(tu remarqueras que tu peux oublier le signe "moins")
Kaiser
Cauchy >
Oui et bien vous avez pas chômés
tu m'étonnes ! 5 jours de travail intensif !
T'es pas venu aux interens ce week end?
non
H_aldnoer >
A refaire ?
Tu sais, il ne faut pas abuser des bonnes choses !
Kaiser
Tu sais, il ne faut pas abuser des bonnes choses !
Bon bon un peu de sèrieux allons !
Je refléchis
oui (en fait, dans le cas présent, on a la réciproque : plus précisément, si I est un idéal de , alors I est premier si et seulement si I est maximal).
Kaiser
On a montrer avant que si I est un idéal maximal de alors I est de la forme
.
J'aimerais utiliser ceci, mais nous on prend I un idéal premier de , cela n'implique pas necessairement qu'il est maximal, si ?
Soit I un idéal non nul de , avec I premier. Tu sais qu'il s'écrit sous la forme
, avec P unitaire.
Montre alors que P est nécessairement irréductible (et donc de degré 1).
Kaiser
Je me suis mal exprimé : le fait que P est premier n'a rien à voir avec ça : il s'écrit ainsi car I est un idéal de , qui est principal.
Kaiser
pas nécessairement mais on peut toujours le choisir ainsi (il me semble qu'on en avait déjà parlé de ça , non ?)
Kaiser
Ah oui, bien oui je m'en souviens après coup quelque chose sur les coefficients ok ok.
Et l'on cherche à montrer que P est irréductible ?
Non, non, je ne vois pas le rapport entre le fait que P soit unitaire, et le fait qu'il soit irréductible
Si par exemple P est de degré 2, mais dans il me semble que l'on peut toujours l'écrire sous la forme d'un produit de polynomes degré 1 non ?
Il s'écrit avec
?
non, ceci n'est vrai que P est à coefficients réels.
De plus, tu n'as pas besoin de distinguer le cas où P est de degré 2. Raisonne directement dans le cas général.
On suppose donc que P n'est pas irréductible donc il existe ...
Kaiser
même mieux : il existe deux polynômes Q et R de degrés supérieurs ou égaux à 1 tels que P=QR.
Kaiser
ben oui, c'est ça la définition !
j'ai du mal à comprendre ta réaction : tu as l'air surpris !
Kaiser
Je le suis kaiser, je le suis, j'essaye de (re)trouver la définition de polynomes irréductibles.
J'ai trouvé :
Un polynôme P dans K[X] est dit premier ou irréductible si il n'est pas un polynôme constant et si il admet comme seuls diviseurs , les polynômes constants et les polynômes qui lui sont proportionnels
Polynôme dont les seuls diviseurs sont les éléments inversibles ou les polynômes U.P où U est un polynôme inversible.
!
C'est équivalent : il suffit de nier.
P n'est pas irréductible si et seulement ils admet un diviseur non trivial (c'est-à-dire non constant et non proportionnel à P) et donc on peut écrire P=QR.
Avec cette égalité, nécessairement, R est lui aussi non constant (car Q n'est pas proportionnel à P) et non proportionnel à P (car P est non constant).
Du coup, on a bien la propriété que j'ai énoncée plus haut.
Kaiser
J'émerge ... lol
Donc de manière général, on a une équivalence avec le fait que P est irréductible (la définition) et P=QR avec et
?
euh presque (faute de frappe) : c'est plutôt "le fait que P est non irréductible".
De toutes façons, ce vocabulaire est assez intuitif, je trouve : "irréductible" signifie que tu ne peux pas casser ton polynôme en deux morceaux strictement plus petits.
Kaiser
De toutes façons, ce vocabulaire est assez intuitif, je trouve : "irréductible" signifie que tu ne peux pas casser ton polynôme en deux morceaux strictement plus petits.
La c'est plus clair lol.
Donc si P est non irréductible, il s'écrit
Ce qui implique que
Si, par exemple,
toutafé !
du coup P est irréductible, donc de degré 1 et donc, comme on l'a supposé unitaire, il s'écrit sous la forme Y-u avec u un complexe.
Maintenant, retour à la question : quels sont les idéaux premiers de contenant
? (commence déjà par déterminer la forme des idéaux tout court qui contiennent
).
Kaiser
Déterminer I idéal de qui contiennent
?
(tu peux me rappeler pourquoi on oublie le "-" ? ?)
Comme est un corps,
est principal et
(je suppose que l'on suppose P unitaire ?)
On a l'inclusion
Donc
Doit-on chercher les diviseurs de ?
tu peux me rappeler pourquoi on oublie le "-" ?
si P s'écrit
(je suppose que l'on suppose P unitaire ?)
Tant qu'à faire.
Doit-on chercher les diviseurs de
Tu as précédemment montré que un idéal contenant
cela dit, on n'est pas obligé de tous les chercher. Maintenant, si I est premier, on sait d'après ce qui précède que P est un polynôme unitaire de degré 1. Il faut donc déterminer les diviseurs unitaires de degré 1 du polynôme
Kaiser
Tu as précédemment montré que un idéal contenant
Je cherche ou mais je vois pas !
cela dit, on n'est pas obligé de tous les chercher. Maintenant, si I est premier, on sait d'après ce qui précède que P est un polynôme unitaire de degré 1
Ceci car si I est premier de
Quels sont-ils ?
Il me semble que
Je cherche ou mais je vois pas !
voir ton message de 12h03
Ceci car si I est premier de
oui
Il me semble que
oui, et donc ?
Kaiser
voir ton message de 12h03
Mais de quel forme du parle en faite ?
oui, et donc ?
Donc on a
??
Mais de quel forme du parle en faite ?
de la forme d'un idéal I qui contient
Kaiser
OK!
Bon maintenant :
Determiner les idéaux premier de A qui contiennent Ax.
si I est un idéal premier de contenant
, alors
est un idéal premier de A contenant
or I est soit , soit
soit
donc les idéaux premiers de A qui contienntent Ax sont :
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