la 6 c'est trivial... si elle tend vers l'infini elle atteint une valeur assez grande ...

la 7 vient du fait que



(à montrer et ça permet de faire la récurrence)

J'ai essayé quelque chose d'autre mais je n'arrive pas aboutir oouvez vous me dire si c'est correct :
Soit (Vn) la suite définie à partir d'un certain rang k Vk=Uk et Vn+1 = sqrt(Vk) +1/k (k étant une constante).
J'ai montré que pour tout n>k, Vn>Un.
Sauf que je n'arrive pas à démontrer que (Vn) converge vers 1 pour appliquer le théorème des gendarmes. Si quelqu'un pourrait m'aider svp

Vn+1 = sqrt(Vn) +1/k et non Vk oupss

je ne comprends pas la définition de ta suite V ... que je soupçonne d'être quasiment la même que U

ta suite V ne tend pas vers 1 ...

si elle a une limite c'est une solution de (x = x + 1/k)

y'a de l'idée mais comment tu choisis k ?

mais je ne comprends pas ce qui t'arrête dans le point n) de mon énoncé...

La 6 j'ai compris mais maintenant c'est la 7 que j'essaye de comprendre, je ne vois pas vraiment ce qu'il faudrait démontrer par récurrence..

que u_n+1 - u_n pour tout np

Si converge alors sa limite serait soit :

Raisonnement par récurrence :

Hérédité :
Supposons qu'il existe un
tel que :

et
Alors :





Donc :

Initialisation :



Conclusion

La propriété est initialisé pour n = 1 et héréditaire alors elle est vrai pour tout

Si la limite existe alors elle ne peut donc qu'être .

Deuxième raisonnement par récurrence :

Hérédité :

Supposons qu'il existe un tel que :




Initialisation :



Soit tel que :

Alors :

Or si est strictement croissante sa limite ne peut pas être finie car , sa limite sera donc obligatoirement . Donc elle atteindra forcément pour un certain rang p :



Il existe donc un tel que

Conclusion

La propriété est donc héréditaire et initialisé pour n = p. Elle est donc vrai pour tout

Donc Un > 1 , et (U_n) est decroissante à partir d'un certains rang p et est minoré par 1, donc elle converge et on a :



Voilà j'espère y'a rien de faux cette fois ci xD, c'est correct :'( ?

Ah désolé j'écrivais depuis 1 h xD j'ai pas vue vos messages entre temps ...

FerreSucre

tu ne démontres pas que U décroit à partir du rang p !

yohanandria




te permet de montrer que la suite décroit à partir du rang p

Bah si ? Dans l'initialisation de la démonstration par récurrence à la toute fin, je conclu qui existe un p tel que U(p+1) < Up
Et donc que quand n >= p, U(n+1) < Un ?

Donc comme je venais de faire mon hérédité avant , à partir du moment ou j'avais ce obligatoirement est était strictement decroissante à partir de

je ne vois nul part cela dans tes démos !

tes "hérédités, comme tu dis, ne concernent absolument pas le fait que si elle cesse de croitre sur un terme et sons successeur, alors elle sera ensuite toujours décroissante.

donc non !

Bah si :




Or
Donc :


Et avec mon raisonnement par récurrence si cette condition est validée comme ici obligatoirement elle est decroissante à partir de .

Euh c'est or 1 <= 1/(p+1)

FerreSucre
et puis on n'y comprend pas grand chose dans tes récurrence vu que tu ne dis pas, avant la démo, ce que tu es sensé démontrer par récurrence... tout ça est quelque peu fouillis !

FerreSucre

non que je te dis !

ton U_p est supérieur à K ... mais qui te dit que ton U_(p+1) le sera encore puisqu'elle décroit de U_p à U_(p+1)

FerreSucre

tu as tendance à tout mélanger !

reprends mon énoncé de 22:18 point par point, rédige correctement et quand tu démontres un truc par récurrence, énoncé avant la propriété que tu veux démontrer.

le K utilisé sert juste à montrer qu'elle ne peut pas tendre vers l'infini.

et donc qu'elle n'est pas croissante...

mais y'a encore du boulot pour montrer qu'elle est décroissante à partir d'un certain rang

Bah mon raisonnement par récurrence est le suivant :

Hérédité :

Supposons qu'il existe un n entier naturel tel que :

(HR)
Alors :
Et :

Donc :
L'hérédité de la propriété est validée.

Initialisation

(Je refais pas tout) on a démontré qu'il existe un certain p tel que :



La propriété est donc initialisé pour n = p

Conclusion

La propriété est héréditaire et vrai pour n=p elle est donc vrai pour tout

Si c'est pas ça là je comprends plus rien du tout

maintenant oui, tu as démontré qu'elle est décroissante à partir du rang p

Ah bon d'accord c'est vrai que mon premier n'était pas très clair et peu détaillé...
Mais la suite peut-être strictement croissante mais jusqu'à un certains rang finie  elle est forcément decroissante au bout d'un moment si on prend Uo = 0 par exemple ?

Euh j'avais oublié xD

peu importe U0 ...

c'est effectivement ce qui se passe... elle peut commencer par "monter", mais dès qu'elle va décroitre sur 2 termes, alors elle sera définitivement décroissante.

Bon morale de l'histoire, les limites c'est dangereux xD mais cet exo est intéressant. J'espère qu'on aura un sujet au concours général sympa, j'avais bien aimé l'exercice sur les nombres en Or sur le sujet de 2018 je crois, un sujet sur les intégrales ça serait excellent xD, même si je crois pas qu'il tombera car c'est vue en fin d'année en temps normal :/.

Bien, bon bein super 1 h 03 du matin xD, moi je vais y aller, sur ce bonne nuit

On peut même trouver que elle peut être croissante jusqu'à p = 3 au maximum en prenant sqrt(K) + 1/(n+1) < K
Et en traçant un graphique ensuite on trouve 3, fin bref bonne nuit

l'idée de ma démarche est le suivant :

a) voir que la suite est minorée par 1 à partir du deuxième terme

b) voir que si une limite finie existe, elle ne peut valoir que 1

c) voir que si elle atteint une certaine valeur K supérieure à (3+5)/2, alors elle restera ensuite majorée par cette valeur K

d) voir que si elle était croissante, elle tendrait vers l'infini et cela entrerait en contradiction avec le point (c)

e) voir qu' elle est décroissante à partir d'un certain rang

f) minorée par 1 et décroissante à partir d'un certain rang, elle converge... et ce ne peut être que vers 1

Merci beaucoup pour vos réponses, j'aurais juste une dernière question (le reste étant compris) comment montrer qu'elle est majorée par K ?

Je me suis trompé dans mon poste de 1 h 26 d'ailleurs ...

Yohan en faite si (Un) dépasse K la suite est obligatoirement strictement  decroissante.
Mais si elle ne dépasse pas K ça veut dire qu'elle décroît forcément avant Up > K, et donc qu'elle converge vers 1 toujours

yohanandria

ne tiens pas compte de la remarque de FerreSucre

soit p tel que u_p = K > (3+5)/2, ce qui arrive fatalement si elle tend vers l'infini...

Montre par récurrence que (np ; u_nK)

FerreSucre
tu confonds les choses... la majoration par K à partir d'un certain rang permet de montrer qu'elle ne peut tendre vers l'infini... ce n'est pas forcément à partir de ce rang-là qu'elle est décroissante.

je t'ai dit de reprendre les démos dans l'ordre car tu es trop brouillon et tu mélanges tout

Bonjour,
J'ai suivi de loin
Merci à yohanandria d'avoir posté cet exercice intéressant.
Et à FerreSucre pour ses recherches.
Mais, FerreSucre, je répète ce qu'a déjà écrit matheuxmatou :
Une démonstration par récurrence ne commence pas par l'hérédité.
Elle commence par l'annonce de la propriété qui va être démontrée, et ceci de manière claire.

Enfin, bravo à matheuxmatou pour la résolution !
Dans le message de 9h36, exit la suite non strictement croissante d'hier qui me chiffonnait un peu.

Je propose cependant une petite modification pour c) :
c') a = (3+5)/2
Si u_k > a avec k entier naturel alors u_k+1 < u_k .

Je pense que ça suffit pour en déduire d).

Oui pardon matheuxmatou ^^.
Sylvieg il fallait que je dise avant mon raisonnement : montrons qu'il existe un certains p entier naturel tel que à partir de n = p, U_{n+1} < U_n
C'est ça qu'il fallait que je mette ?
Et après :

Hérédité...

Initialisation

Conclusion

?

En considérant démontré auparavant ceci :
Il existe un p entier naturel tel que u_p+1 < u_p.
Tu veux démontrer ceci :
Si n p alors u_n+1 < u_n.
Tu poses donc P(n) : u_n+1 < u_n
Et tu veux démontrer, par récurrence, P(n) vraie pour n p.
En général on commence par l'initialisation avant l'hérédité.

Si tu ne veux pas poser du P(n), une phrase genre :
On va démontrer par récurrence que u_n+1 < u_n si n p.

De toutes façons, il faut séparer la démonstration de l'existence de p d'avec la récurrence.

Bah ce que j'ai fais c'est :

Montrer que la propriété était héréditaire.
Et ensuite j'ai montrer que il existait un p tel que Up > K ... donc il existe bien un p tel que la propriété est initialisé.
Donc elle est vrai ...

Après faire l'initialisation après c'est juste une préférence car la rédaction est plus simple.

J'ai pas trop compris le problème ducoup :/

Quel problème ?
matheuxmatou a séparé en questions a), b) ...
Précise de laquelle tu parles.

Non rien en faite c'est bon xD je croyais que tu voulais dire autre chose

salut

vous trouverez là un très beau complément de perroquet :

Exercice monotonie à partir d'un certain rang

Un autre multi-post de yohanandria :
Ça n'est que le 3ème