Inscription / Connexion Nouveau Sujet

1 2 +


Niveau terminale
Partager :

Exercice concours général

Posté par
yohanandria
13-02-21 à 16:58

Bonjour,
Je n'arrive pas à résoudre un exercice type concours général de mathématiques.
Voici l'énoncé :

On définit la suite (Un) par son premier terme U0 positif, et la relation de récurrence :
Pour tout entier naturel n, Un+1 = Sqrt(Un)+ 1/(n+1)
Cette suite est-elle convergente ?

Posté par
matheuxmatou
re : Exercice concours général 13-02-21 à 17:01

bonjour

u_{n+1}=\sqrt{u_n}+\dfrac{1}{n+1}

c'est bien cela ?

Posté par
yohanandria
re : Exercice concours général 13-02-21 à 17:06

Oui c'est bien cela.

Posté par
matheuxmatou
re : Exercice concours général 13-02-21 à 17:14

avant toute chose, il est clair que c'est une suite à termes positifs

si elle a une limite L, que peut valoir cette limite ?

Posté par
yohanandria
re : Exercice concours général 13-02-21 à 17:16

J'étais parti d'un raisonnement par l'absurde et j'ai supposé que la limite était finie, j'ai trouvé L=0 ou L=1.

Posté par
matheuxmatou
re : Exercice concours général 13-02-21 à 17:23

oui, effectivement

Posté par
yohanandria
re : Exercice concours général 13-02-21 à 17:25

Mais comment aboutir à une conclusion car je ne suis parti que d'une simple hypothèse or dans un raisonnement par l'absurde il faut aboutir à une contradiction cependant j'ai remarqué que la limite était bien finie. Donc je ne peux aboutir à une contradiction

Posté par
yohanandria
re : Exercice concours général 13-02-21 à 17:26

(J'ai remarqué que limite était bien finie grâce à la calculatrice)

Posté par
matheuxmatou
re : Exercice concours général 13-02-21 à 17:31

c'était une question brute comme ça ou dans un problème ?

parce que maintenant au concours général ce sont plus des petits problèmes... il est de quelle année celui-là ?

Posté par
yohanandria
re : Exercice concours général 13-02-21 à 17:33

Ce n'était pas au concours général, c'est dans une fiche de « stage » faite par l'académie de Versailles pour s'entraîner pour le concours général qui arrive en mars

Posté par
yohanandria
re : Exercice concours général 13-02-21 à 17:34

La question est le problème, c'est un exercice

Posté par
yohanandria
re : Exercice concours général 13-02-21 à 17:43

Avez-vous une piste de réponse ? Car je n'ai absolument rien

Posté par
ciocciu
re : Exercice concours général 13-02-21 à 17:47

salut
en attendant matheuxmatou que je salue
tu crois que ta suite comment d'après toi convergente ou pas ?

Posté par
matheuxmatou
re : Exercice concours général 13-02-21 à 17:49

j'avoue que rien ne me saute aux yeux... je cherche

une chose est sûre, c'est que u1 > 1

et une récurrence simple permet de montrer que pour tout n1 , un>1

donc déjà si ça converge, c'est vers 1

Posté par
yohanandria
re : Exercice concours général 13-02-21 à 17:50

Oui il me semble qu'elle converge bien

Posté par
yohanandria
re : Exercice concours général 13-02-21 à 17:54

Oui cela me paraissait évident aussi j'avais trouvé ce résultat aussi

Posté par
ciocciu
re : Exercice concours général 13-02-21 à 17:54

ah moi je dirais qu'elle diverge ...
calcules un peut les 10 1ers termes .....

Posté par
ciocciu
re : Exercice concours général 13-02-21 à 17:55

un peu *   maudit correcteur  

Posté par
ciocciu
re : Exercice concours général 13-02-21 à 17:55

en prenant U0=1

Posté par
matheuxmatou
re : Exercice concours général 13-02-21 à 17:57

une simulation sur tableur semble prouver qu'elle converge vers 1...

Posté par
yohanandria
re : Exercice concours général 13-02-21 à 17:58

Je ne vois pas comment vous arrivez à en conclure qu'elle diverge en calculant les 10 premiers termes.. Le seul constat que j'ai pu faire est que la suite est croissante puis décroissante à partir d'un certain rang selon les valeurs de u0

Posté par
matheuxmatou
re : Exercice concours général 13-02-21 à 18:00

on remarquera qu'on peut démontrer par récurrence que

si il existe p tel que up+1-up < 0

alors pour tout np , un+1-un < 0

ce qui prouverait alors qu'elle converge, et donc vers 1

Posté par
matheuxmatou
re : Exercice concours général 13-02-21 à 18:00

yohanandria
oui, je suis d'accord avec toi, il me semble que ciocciu se trompe

Posté par
yohanandria
re : Exercice concours général 13-02-21 à 18:03

Question bête, mais démontrer cela montrerait que la suite est décroissante, mais comment montrer ainsi qu'elle est minorée ? (enfin je suppose qu'il faut montrer cela d'après le théorème de converge des suites monotones)

Posté par
matheuxmatou
re : Exercice concours général 13-02-21 à 18:04

yohanandria @ 13-02-2021 à 18:03

Question bête, mais démontrer cela montrerait que la suite est décroissante, mais comment montrer ainsi qu'elle est minorée ?


voir 19:47

Posté par
yohanandria
re : Exercice concours général 13-02-21 à 18:06

Désolé je n'ai pas compris votre réponse..

Posté par
ciocciu
re : Exercice concours général 13-02-21 à 18:06

oui non pardon j'ai craqué ....j'étais sur n au lieu de Un
effectivement elle doit converger ....
désolé

Posté par
ty59847
re : Exercice concours général 13-02-21 à 18:08

On sait que la suite est minorée ( minorée par 0 ... et même par 1).
Si en plus elle est décroissante, c'est fini, ça suffit pour conclure qu'elle converge.

Posté par
matheuxmatou
re : Exercice concours général 13-02-21 à 18:09

yohanandria @ 13-02-2021 à 18:06

Désolé je n'ai pas compris votre réponse..


pardon... voir message de 17:49

Posté par
matheuxmatou
re : Exercice concours général 13-02-21 à 18:11

une idée serait de prouver qu'elle ne peut pas être croissante...

cela prouverait bien qu'il existe un entier p tel que up+1-up < 0

et ce serait fini

Posté par
yohanandria
re : Exercice concours général 13-02-21 à 18:15

D'accord je comprends mieux merci, mais comment l'existence d'un tel entier ?

Posté par
yohanandria
re : Exercice concours général 13-02-21 à 18:38

comment montrer*

Posté par
FerreSucre
re : Exercice concours général 13-02-21 à 19:01

J'ai une idée vous pouvez me dire si c'est correct en terme de raisonnement ? par rapport à la convergence de la suite de Yohan car je suis en terminale aussi et je participe au concours générale ^^. J'ai peur de donner la réponse :/.

\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n+1}  = 0

Donc on a : \lim_{n \to +\infty}\sqrt{U_n} + \dfrac{1}{n+1} = \sqrt{U_n}
Autrement dit la suite U_{n+1} converge vers une suite V_{n+1} = \sqrt{V_n} avec V_0 > 0

Donc il nous suffit d'étudier maintenant si V_n converge ? (ce qui est assez simple) comme celle ci converge vers une limite finie quelque soit V_o > 0 alors U_n converge vers une limite finie quelquesoit U_n > 0
Est-ce correct ?

Posté par
FerreSucre
re : Exercice concours général 13-02-21 à 19:03

Supprime mon message si jamais c'est correct et que ça donne la réponse ^^ merci et désolé :/

Posté par
yohanandria
re : Exercice concours général 13-02-21 à 19:10

C'est exactement un des raisonnement que je m'était fait et justement je me demandais s'il était bon
Oui ne t'en fait pas de toute façon c'est juste une fiche d'exercices à envoyer, ça n'est pas encore le concours haha

Posté par
FerreSucre
re : Exercice concours général 13-02-21 à 19:41

Toi aussi tu fais le concours ducoup ? et t'es à qu'elle ville xD ? Nantes perso

Posté par
yohanandria
re : Exercice concours général 13-02-21 à 19:42

Colombes,dans le 92, proche de Paris. Vous aussi ils vous ont donné une fiche pépinière à rendre toutes les semaines ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice concours général 13-02-21 à 20:48

Bonjour,
Ceci n'est pas correct

Citation :
\lim_{n \to +\infty}\sqrt{U_n} + \dfrac{1}{n+1} = \sqrt{U_n}
Pour deux raisons.
Il manque un "lim " à droite.
Et on ne peut pas écrire \lim_{n \to +\infty}\sqrt{U_n} avant d'avoir démontré que la suite (U_n) converge.

Posté par
FerreSucre
re : Exercice concours général 13-02-21 à 21:30

Oui effectivement j'ai oublié le \lim à droite :/ ,
Je sais que l'on peut pas écrire lim sans avoir vérifié que (Un) converge mais comment faire alors ? Parce que je veux dire que "quand n tend vers +infini la suite converge vers la suite sqrt(Un).

Il faudrait dire que (Vn) converge (simple à démontrer) et que :
Selon un certains ensemble E, si V_o \in E, V_o > 0

\lim_{n\to +\infty} \sqrt{U_n} + 1/(n+1) = \lim_{V_n} (qui ducoup existerai maintenant)

?? C'est possible comme ça ? merci ^^

Posté par
matheuxmatou
re : Exercice concours général 13-02-21 à 22:13

comment faire ? prouver que cette limite existe !

une petite idée de piste qui, sauf erreur, me semble fonctionner :

1 : établir qu'une limite finie éventuelle ne peut valoir que 0 ou 1

2 : établir que pour n1 , on a un > 1

3 : établir que si la suite est strictement croissante , alors elle tend vers l'infini

4 : montrer que pour K > 0 ,
\sqrt{K} + 1 \leqslant K   signifie   K \geqslant \dfrac{3+\sqrt{5}}{2} \approx 2,6

5 : montrer que si , pour un certain p on a

u_p \leqslant K  avec  K \geqslant  \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}

alors, pour tout np, on a  u_n \leqslant K

6 : en déduire que la suite ne peut pas être croissante et qu'il existe un entier q tel que uq+1-uq < 0

7 : montrer que la suite décroit à partir du rang q

8 : conclure

Posté par
matheuxmatou
re : Exercice concours général 13-02-21 à 22:15

rectif pour la 6 : la suite ne peut pas être strictement croissante et l'inégalité est large

Posté par
matheuxmatou
re : Exercice concours général 13-02-21 à 22:18

malgré l'aperçu et la relecture... y'a des défauts ! je le remets :

matheuxmatou @ 13-02-2021 à 22:13


une petite idée de piste qui, sauf erreur, me semble fonctionner :

1 : établir qu'une limite finie éventuelle ne peut valoir que 0 ou 1

2 : établir que pour n1 , on a un > 1

3 : établir que si la suite est strictement croissante , alors elle tend vers l'infini

4 : montrer que pour K > 0 ,
\sqrt{K} + 1 \leqslant K   signifie   K \geqslant \dfrac{3+\sqrt{5}}{2} \approx 2,6

5 : montrer que si , pour un certain p on a

u_p = K  avec  K \geqslant  \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}

alors, pour tout np, on a  u_n \leqslant K

6 : en déduire que la suite ne peut pas être strictement croissante et qu'il existe un entier q tel que uq+1-uq 0

7 : montrer que la suite décroit à partir du rang q

8 : conclure


là ça me semble bon

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice concours général 13-02-21 à 22:20

Si la question portait sur wn+1 = wn + 1/(n+1),
introduirais-tu de même une suite définie par kn+1 = kn pour démontrer que la suite (wn) converge ?
Problème : la suite (wn) a comme limite +.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exercice concours général 13-02-21 à 22:22

Je répondais au message de FerreSucre de 21h30.

Posté par
matheuxmatou
re : Exercice concours général 13-02-21 à 22:24

bonsoir Sylvieg

mes posts de 22:13 et 22:15 comportent des imprécisions... mon énoncé rectifié est à 22:18

sauf erreur ça doit marcher.

Posté par
FerreSucre
re : Exercice concours général 13-02-21 à 22:25

Ouais mais pourquoi K >= 2.6 je comprends pas d'où viennent les calculs d'avant ,

mais mon idée n'est pas bonne ? Avec mon Vn ? Ça me semble plus simple c'est pour ça mais c'est vrai que juste démontrer que la suite est decroissante à partir d'un certain terme est bien aussi j'avais loupé un détail ducoup je croyais que je pouvais pas le faire.

Mais mon Vn m'intéresse ducoup ^^? Merci

Posté par
matheuxmatou
re : Exercice concours général 13-02-21 à 22:27

FerreSucre
non... ce que tu écris n'a pas beaucoup de sens !

notamment "converger vers la suite vn"... comment une limite peut dépendre de la variable "n" qui sert à calculer la limite ?

Posté par
FerreSucre
re : Exercice concours général 13-02-21 à 22:40

Sylvieg ouais, je l'aurais pas fait parce que je sais que \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n} = +\infty

Mais je vois le problème ducoup xD, dommage :/ ça aurait été pratique

Posté par
FerreSucre
re : Exercice concours général 13-02-21 à 22:41

Ducoup faut montrer que (Un) est decroissante à partir d'un certain n \geq p ?

Posté par
matheuxmatou
re : Exercice concours général 13-02-21 à 23:33

yohanandria

je propose un truc à 22:18

1 2 +




Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1505 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !