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Exercice d intégration bien difficile

Posté par ihewinp (invité) 26-02-05 à 20:44

Salut
je vous fait part de l' énoncé de mon exercice que je nemaitrise pas.



Le plan est munit d' un repère orthonormal direct(O:i:j)
On note I le point de coordonnées(1;0)
Soient f la fonction définie sur l' intervalle [0:1] par f(x)=exp(x-1) et C sa courbe représentative dans le repère (o,i,j)
On note la portion de plan comprise entre la courbe C , l' axe des abscisses et les droites d' équations x=0 et x=1

Pour tout x appartenant à [0:1], on note Mx le point de coordonnées (x,f(x)) et Tx le domaine délimité par la droite (IMx), l' axe des abscisses, l' axe des ordonnées et la courbe C. On désigne par g(x) l' aire de Tx.

1. Pour tout x appartenant à l' intervalle [0:1], calculer g(x) en fonction de x. (Comment faire ? calculer la dérivée, rapport avec intégrale ... ? je ne vois pas )

2. Etudier les variations de la fonction g(x) sur [0:1]. (dérivée du résultat précédent je pense ?)

3. a. Par des considérations d' aires, montrer que g(0) 1/2 (de 1 à 0) f(x)dt.
   b. Montrer qu' il existe un unique réel de [0:1] tel que g() soit égal à la moitié de l' aire de .

4. Trouver une valeur approchée de à 10^-3 près.

Merci d' avance pour votre aide.

Posté par titimarion (invité)re : Exercice d intégration bien difficile 26-02-05 à 21:14

Salut,
lorsque une fonction est à valeur positive, l'aire qu'il y a sous la courbe correspond à une intégarale ainsi
\Delta=\displaystyle\int_0^1g(x)dx
Ainsi si tu traces ta courbes, tu peux obseerver que l'aire que l'on te demande est égal à l'aire sous la courbe C moins l'aire sous la droite IMx
La droite IMx a pour équation h(t)=f(x)t/x pour tout t dans [0,x]
Ainsi g(x)=\displaystyle\int_0^xf(t)dt-\int_0^xh(t)dt=\int_0^xe^{t-1}-e^{x-1}t/x dt
Si tu calcules l'intégrale tu obtiens:
g(x)=e^{x-1}-e^{-1}-e^{x-1}x/2=(1-x/2)e^{x-1}-e^{-1}
Voila donc pour la première question, essaie de faire la suite si tu n'y arrives pas repost dans le même topic

Posté par ihewinp (invité)re : Exercice d intégration bien difficile 27-02-05 à 10:08

Merci
donc alors pour répondre à la question 2 je calcule la dérivée de g(x) trouvée en 1/ et je l' étudie normalement. ok

Par contre pour les questions 3 et 4 je dois passer par quelle méthode ? L' intégrale que tu as calculé , elle correspond à quoi dans le question 3. Est ce qu' on doit s' en servir ?

Posté par titimarion (invité)re : Exercice d intégration bien difficile 27-02-05 à 10:32

Re,
pour le 3, tu connais g(x) tu peux voir que g(0)=0
De plus \Delta=\displaystyle\int_0^1e^{x-1}dx=[e^{x-1}]_0^1=1-e^{-1}
Donc tu peux bien voir que g(0)<\Delta/2 ce qui est exactement ce qui t'es demandé a la question 3.
Après il faut essayer d'utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour montrer qu' alpha existe

Posté par ihewinp (invité)re : Exercice d intégration bien difficile 27-02-05 à 10:54

le théorème des valeurs intermédiares c' est ça : Soit f une fonction numérique continue sur un intervalle fermé [a ; b] : si f(a) X f(b)  0 , alors il exite au moins un réel x de l'intervalle [a ; b] tel que
f(x) = 0

L' intervalle c' est [1:0] ?
Je vois pas trop quel est l' intérêt de f(a) X f(b) ?

Posté par titimarion (invité)re : Exercice d intégration bien difficile 27-02-05 à 11:39

Il y a une autre version du th des valeurs intermédiaire qui te dis que
sur [a,b]
Si  f est une fonction continue croissante sur [a,b] et si c\in[f(a),f(b)] alors \exists x\in [a,b]/f(x)=c

Posté par titimarion (invité)re : Exercice d intégration bien difficile 27-02-05 à 11:39

En fait le TVI te dis que si f est continue elle prend alors toutes las valeurs comprises entre f(a) et f(b)

Posté par ihewinp (invité)re : Exercice d intégration bien difficile 27-02-05 à 12:02

et en quoi ça m' aide à trouver tel que g()=1/2 ? On se sert de a/ (on se sert de la bijection ?)

Posté par ihewinp (invité)re : Exercice d intégration bien difficile 27-02-05 à 13:48

Alors comment dois je faire ? SVP

Posté par titimarion (invité)re : Exercice d intégration bien difficile 27-02-05 à 14:11

Salut
j'avais fait une petite erreur pour g(x), en effet, on calcule l'aire sous la courbe C pour, t compris entre 0 et x, je n'avais pas vu que c'était IM(x) j'avais pris OM(x)

On a l'équation de Imx qui est de la forme h(t)=\frac{f(x)}{x-1}(t-1) ca je te laisse le vérifier.
Ainsi g(x)=\displaystyle\int_0^x g(t)dt+aire du triangle (x,0)I(x,f(x)). lorsque x<1 et vaut \Delta lorsque x vaur 1.
Ainsi g(x)=e^{x-1}-e^{-1}+\displaystyle\int_x^1h(t)dt
Je te laisse calculer explicitement g
Ainsi g(0)=0<1/2\Delta<g(1)=\Delta
TRu peux en conclure par le TVI qu'il existe \alpha\in[0,1] tel que g(\alpha)=1/2\Delta
Ensuite il te faut chercher quand la fonction g(x)-1/2\Delta s'annule.

Posté par ihewinp (invité)re : Exercice d intégration bien difficile 27-02-05 à 14:22

Avec cette erreur ,je dois avouer que je suis perdu.
Je ne sais plus ce qui correspond à chaque question.

Il faudrait m' éclairer davantage.
Merci

Posté par ihewinp (invité)re : Exercice d intégration bien difficile 27-02-05 à 16:27

SVP réponder moi

Posté par ihewinp (invité)re : Exercice d intégration bien difficile 27-02-05 à 17:51

SVP SVP  aidez moi c' est urgent

Posté par ihewinp (invité)Je suis désolé d insister 28-02-05 à 18:38

Pourriez vous m' aider.
Parce que je n' ai pas compris les explications que m' a faites titimarion.
Surtout pour les premiers question je ne comprends pas comment on arrive à l' expression de g(x).

Le plan est munit d' un repère orthonormal direct(O:i:j)
On note I le point de coordonnées(1;0)
Soient f la fonction définie sur l' intervalle [0:1] par f(x)=exp(x-1) et C sa courbe représentative dans le repère (o,i,j)
On note  la portion de plan comprise entre la courbe C , l' axe des abscisses et les droites d' équations x=0 et x=1

Pour tout x appartenant à [0:1], on note Mx le point de coordonnées (x,f(x)) et Tx le domaine délimité par la droite (IMx), l' axe des abscisses, l' axe des ordonnées et la courbe C. On désigne par g(x) l' aire de Tx.

1. Pour tout x appartenant à l' intervalle [0:1], calculer g(x) en fonction de x. (Comment faire ? calculer la dérivée, rapport avec intégrale ... ? je ne vois pas )

2. Etudier les variations de la fonction g(x) sur [0:1]. (dérivée du résultat précédent je pense ?)

3. a. Par des considérations d' aires, montrer que g(0) 1/2 (de 1 à 0) f(x)dt.
   b. Montrer qu' il existe un unique réel  de [0:1] tel que g() soit égal à la moitié de l' aire de .

4. Trouver une valeur approchée de  à 10^-3 près.

*** message déplacé ***

Posté par
Nightmare
re : Exercice d intégration bien difficile 28-02-05 à 18:39

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?

Posté par dolphie (invité)re : Exercice d intégration bien difficile 28-02-05 à 18:52

1.Tx se décompose en deux parties:
Soit Nx le point (x,0)
Sur [0,x], aire sous la courbe donc intégrale
aire triangle IM_xN_x

Ainsi: g(x)=\int_0^xf(t)dt+\frac{(1-x)f(x)}{2}
g(x)=\int_0^xe^{t-1}dt+\frac{(1-x)e^{x-1}}{2}
g(x)=[e^{t-1}]_0^x+\frac{(1-x)e^{x-1}}{2}
g(x)=[e^{x-1}-e^{-1}]+\frac{(1-x)e^{x-1}}{2}

Posté par ihewinp (invité)re : Exercice d intégration bien difficile 28-02-05 à 18:59

je suis désolé d' avoir fait un multipost.

pour étudier les variation de g
est ce que quelqu' un pourrait m' aider parce que  la dérivé (si il faut passer par la dérivée) est vraiment dure à trouver.

Merci.

Posté par dolphie (invité)re : Exercice d intégration bien difficile 28-02-05 à 19:01

g'(x)=e^{x-1}+\frac{(-1+1-x)e^{x-1}}{2}
g'(x)=e^{x-1}[1+\frac{x}{2}]
Pour tout x, e^{x-1} > 0
le signe de g est celui de 1+x/2...pas bien difficile!

Posté par ihewinp (invité)re : Exercice d intégration bien difficile 28-02-05 à 19:12

merci beaucoup vraiment.

Pour les questions 3 et 4,
les conseils de titimarion sont ils bien ?
ou tu conseilles autre chose ?

Posté par dolphie (invité)re : Exercice d intégration bien difficile 28-02-05 à 19:22

Non, 3. elle s'est trompée, g(0)0.

en effet, g(0)=\frac{1\times f(0)}{2}=\frac{f(0)}{2}

de ttes facons on te demande de raisonne en aires et non de faire des calculs.

Soit A le point (0,f(0)).
alors g(0)=aire(AOI).
maintenant construisons le rectangle OIBA ou B est le point d'abscisse 1 et d'ordonnée f(0).
f(0)<f(1) d'acord.
Donc l'aire du rectangle < aire sous la courbe. OK?
Or, g(0) = 1/2 aire rectangle et aire sous courbe = intégrale de f entre 0 et 1.
donc g(0) < 1/2*intégrale f entre 0 et 1.

Posté par dolphie (invité)re : Exercice d intégration bien difficile 28-02-05 à 19:25

3.b) tu as montré que g était une fonction croissante et continue sur [0,1] (2.)
g(0)1/2 * \int_0^1f(t)dt
et g(1)=\int_0^1f(t)dt 1/2 * \int_0^1f(t)dt.

On en déduit qu'il existe un réel tel que g()=1/2 * \int_0^1f(t)dt

Posté par dolphie (invité)re : Exercice d intégration bien difficile 28-02-05 à 19:26

4. valeur approchée sur calculatrice.

Posté par ihewinp (invité)re : Exercice d intégration bien difficile 28-02-05 à 19:29

merci beaucoup je vais étudier tout ça et si j' ai un problème je réecris.

Encore merci.
salut



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