Niveau Licence Maths 1e ann

Exercice de calcul différentiel

Posté par
hamzafederer 02-10-15 à 23:18

Bonsoir

Je sollicite votre aide à propos de cet exercice issu d'un concours,je vous remercie d'avance pour votre aide ,voilà l'exercice:

Notations: On désigne par $E$ l'espace des"fonctions de classes $C^{1}$ de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$ et $C[0,1]$ l'espace des fonctions de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$ . Pour $f\in C[0,1]$ , on pose:

$\left\Vert f\right\Vert _{\infty }=\sup_{x\in \lbrack 0,1]}\left\vert f(x)\right\vert$            $\left\Vert f\right\Vert _{2}=(\int_{0}^{1}\left\vert f(x)\right\vert ^{2})^{\frac{1}{2}} \\$

Soit $F=\{u\in E:u(0)=0\}$ . On note $\left\Vert u\right\Vert =\left\Vert u^{\prime }\right\Vert _{2}$

1. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel férmé de $(E, \left\Vert .\right\Vert _{\infty })$

2.Montrer que $\forall u\in F$ on a : $\left\Vert u\right\Vert _{\infty}\leq \left\Vert u\right\Vert$   et $\sqrt{2}\left\Vert u\right\Vert _{2}\leq \left\Vert u\right\Vert$

3.Montrer que l'application $\left\Vert .\right\Vert$   est une norme sur $F$

4.Soit $(v_{n})_{n\geq 1}$ las suite de fonctions définies par : $\left\{ \begin{array}{c}1\text{ si }x\in \lbrack 1,\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}] \\ -2nx+n\text{ si }x\in \lbrack \frac{1}{2}-\frac{1}{2n},\frac{1}{2}] \\ 0\text{ si }x\in \lbrack \frac{1}{2},1]\end{array}\right.$

Montrer que cette suite est de cauchy pour la norme $\left\Vert .\right\Vert_{2}$ . L'espace $(C[0,1],\left\Vert .\right\Vert _{2})$ est complet?

5.Montrer que dans l'espace $C[0,1]$ les normes $\left\Vert .\right\Vert_{2}$   et $\left\Vert .\right\Vert _{\infty }$ sont comparables mais pas équivalentes.

6.Vérifier que : $\forall n\in N ,u_{n}\in F$ où $\ u_{n}(x)=\int_{0}^{x}v_{n}(t)dt$

7.Montrer que la suite $(u_{n})_{n}}$ est de cauchy dans l'espace normé $(F,\left\Vert .\right\Vert )$ . Cet espace est il de Banach?

8.Soit $A=\{u\in F:u^{\prime }(0)\neq 0\}$ . La partie $A$ est-elle ouverte pour la norme $\left\Vert .\right\Vert _{\infty }$ ?

Même question pour les normes $\left\Vert .\right\Vert _{2}$ et $\left\Vert .\right\Vert _{{}}$

9.Soit $H$ un sous-espace vectoriel de $E$ . Montrer que si $H$ est complet pour $\left\Vert .\right\Vert _{\infty }$ alors $H$ est de dimension finie.

Pour ma part j'ai essayé de répondre à quelques questions mais à chaque fois je bloque à un niveau,voilà ce que j'ai fait(mais je doute que c'est juste)

1. je pense que je doit prendre $f_{n}\in F$ et $f_{n}$ converge vers $f$ .et je montre que $f\in F$ càd que $f(0)=0$

$f_{n}$ converge vers $f$ pour $\left\Vert .\right\Vert _{\infty }$ càd $f_{n}$ converge uniformement vers $f$ mais là je bloque

3.Déja faite

4.on doit montrer que $\forall \epsilon >0,\exists N\geq n,\forall p>q:\left\Vert f_{p}-f_{q}\right\Vert _{2}<\epsilon$

si $x\in \lbrack \frac{1}{2}-\frac{1}{2n},\frac{1}{2}]$ alors $\left\Vert f_{p}-f_{q}\right\Vert _{2}=\frac{\left\vert p-q\right\vert }{\sqrt{6n^{3}}}$ mais après ca, je bloque

5.je sais que pour montrer qu'ils sont equivalentes, il faut trouver une suite de maniere à ce que le rapport des deux normes pour cette suite tend vers l'infini, mais j'arrive pas à trouver cette suite

6.Déja faite

Merci infiniment de votre aide

Posté par re : Exercice de calcul différentiel 02-10-15 à 23:44

Bonsoir !
1. Si $f_n(0)=0$ et $f$ limite uniforme de $(f_n)$ , que vaut $f(0)$ (rappel : la convergence uniforme implique la convergence ponctuelle).

4. Tu montres qu'une limite éventuelle de $(v_n)$ pour la norme $\lVert.\rVert_2$ n'est pas dans l'espace $\mathcal{C}[0,1]$ (je pense que tu as "oublié" dans ton énoncé de dire que c'est l'espace des fonctions continues)
5. A mon avis la suite $(v_n)$ ou quelque chose du même genre devrait convenir ...

Posté par re : Exercice de calcul différentiel 03-10-15 à 00:18

Citation :
1. Si $f_n(0)=0$ et $f$ limite uniforme de $(f_n)$ , que vaut $f(0)$ (rappel : la convergence uniforme implique la convergence ponctuelle).

Ahhh Oui ,c'est vrai la convergence uniforme implique la convergence simple donc $f(0)=0$ càd $f \in F$ donc $F$ est férmé

Citation :
(je pense que tu as "oublié" dans ton énoncé de dire que c'est l'espace des fonctions continues)

Oui c'est vrai cest bien l'espace des fonctions continues

Citation :
4. Tu montres qu'une limite éventuelle de $(v_n)$ pour la norme $\lVert.\rVert_2$ n'est pas dans l'espace $\mathcal{C}[0,1]$ (je pense que tu as "oublié" dans ton énoncé de dire que c'est l'espace des fonctions continues)

Oui mais comment calculer la limite de cette fonction(définie par morceaux)?!!. Est-ce que je dois calculer $lim \left\Vert v_n \right\Vert _{2}$ quand $n$ tend vers l'infini?(en calculant l'integrale ..etc)

Posté par re : Exercice de calcul différentiel 03-10-15 à 09:29

Bonjour !
Tu veux en fait montrer qu'il n'y a pas de limite selon $\lVert.\rVert_2$ . Pour cela tu supposes qu'une limite $v$ continue existe et tu montres qu'il y a contradiction.

Par exemple tu peux établir que nécessairement $v(t)=1$ si $t<1/2$ et $v(t)=0$ si $1/2<t$ .
Supposons qu'il existe $a\in[0,1/2[$ tel que $v(t)\neq1$ . Par continuité de $t\mapsto(v(t)-1)^2$ il existe $b,c,\rho$ tels que $0\leqslant b<a<c<\dfrac12$ et $\forall t\in[b,c],\;(v(t)-1)^2>\rho>0$ .
Soit $\varepsilon=\dfrac12\int_b^c(v(t)-1)^2\; dt>0$
Puisque $n\mapsto \lVert v-v_n\rVert_2$ et $n\mapsto 1/n$ convergent vers 0, il existe un entier $p$ tel que $\bigl(\lVert v-v_p\rVert_2\bigr)^2<\varepsilon$ et $\dfrac1p<\dfrac12-c$ .
Mézalors $\varepsilon>\int_0^1(v(t)-v_p(t))^2\;dt\geqslant\int_b^c(v(t)-v_p(t))^2\;dt$ . Mais $v_p(t)=1$ pour $b\leqslant t\leqslant c$ donc $\varepsilon>\int_b^c(v(t)-1)^2\;dt=2\varepsilon$ ce qui est impossible.

Et même démonstration pour $t>\dfrac12$

Pour 5. la suite des $v_n$ ne convient pas mais tu peux prendre des fonctions $f_n$ affines par morceaux telles que $f_n(0)=0;\;f_n(1/2n)=1;\;f_n(1/n)=0;\;f_n(1)=0$

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