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Niveau Licence Maths 1e ann
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Exercice de calcul différentiel

Posté par
hamzafederer
02-10-15 à 23:18

Bonsoir

Je sollicite votre aide à propos de cet exercice issu d'un concours,je vous remercie d'avance pour votre aide ,voilà l'exercice:

Notations: On désigne par E l'espace des"fonctions de classes C^{1} de [0,1] dans \mathbb{R} et C[0,1] l'espace des fonctions de [0,1] dans \mathbb{R} . Pour f\in C[0,1] , on pose:

\left\Vert f\right\Vert _{\infty }=\sup_{x\in \lbrack 0,1]}\left\vert f(x)\right\vert            \left\Vert f\right\Vert _{2}=(\int_{0}^{1}\left\vert f(x)\right\vert ^{2})^{\frac{1}{2}}
 \\

Soit F=\{u\in E:u(0)=0\} . On note \left\Vert u\right\Vert =\left\Vert u^{\prime }\right\Vert _{2}

1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel férmé de (E, \left\Vert .\right\Vert _{\infty })

2.Montrer que \forall u\in F on a : \left\Vert u\right\Vert _{\infty}\leq \left\Vert u\right\Vert  et \sqrt{2}\left\Vert u\right\Vert _{2}\leq \left\Vert u\right\Vert

3.Montrer que l'application \left\Vert .\right\Vert  est une norme sur F

4.Soit (v_{n})_{n\geq 1} las suite de fonctions définies par : \left\{ \begin{array}{c}1\text{ si }x\in \lbrack 1,\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}] \\ -2nx+n\text{ si }x\in \lbrack \frac{1}{2}-\frac{1}{2n},\frac{1}{2}] \\ 0\text{ si }x\in \lbrack \frac{1}{2},1]\end{array}\right.

Montrer que cette suite est de cauchy pour la norme \left\Vert .\right\Vert_{2} . L'espace (C[0,1],\left\Vert .\right\Vert _{2}) est complet?

5.Montrer que dans l'espace C[0,1] les normes \left\Vert .\right\Vert_{2}  et \left\Vert .\right\Vert _{\infty } sont comparables mais pas équivalentes.

6.Vérifier que : \forall n\in N ,u_{n}\in F\ u_{n}(x)=\int_{0}^{x}v_{n}(t)dt

7.Montrer que la suite (u_{n})_{n}} est de cauchy dans l'espace normé (F,\left\Vert .\right\Vert ). Cet espace est il de Banach?

8.Soit A=\{u\in F:u^{\prime }(0)\neq 0\}. La partie A est-elle ouverte pour la norme \left\Vert .\right\Vert _{\infty }?

Même question pour les normes \left\Vert .\right\Vert _{2} et \left\Vert .\right\Vert _{{}}

9.Soit H un sous-espace vectoriel de E. Montrer que si H est complet pour \left\Vert .\right\Vert _{\infty } alors H est de dimension finie.



Pour ma part j'ai essayé de répondre à quelques questions mais à chaque fois je bloque à un niveau,voilà ce que j'ai fait(mais je doute que c'est juste)

1. je pense que je doit prendre f_{n}\in F$ et $f_{n} converge vers f.et je montre que f\in F càd que f(0)=0

f_{n} converge vers f pour \left\Vert .\right\Vert _{\infty } càd f_{n} converge uniformement vers f mais là je bloque

3.Déja faite

4.on doit montrer que \forall \epsilon >0,\exists N\geq n,\forall p>q:\left\Vert f_{p}-f_{q}\right\Vert _{2}<\epsilon

si x\in \lbrack \frac{1}{2}-\frac{1}{2n},\frac{1}{2}] alors \left\Vert f_{p}-f_{q}\right\Vert _{2}=\frac{\left\vert p-q\right\vert }{\sqrt{6n^{3}}} mais après ca, je bloque

5.je sais que pour montrer qu'ils sont equivalentes, il faut trouver une suite de maniere à ce que le rapport des deux normes pour cette suite tend vers l'infini, mais j'arrive pas à trouver cette suite

6.Déja faite


Merci infiniment de votre aide

Posté par
luzak
re : Exercice de calcul différentiel 02-10-15 à 23:44

Bonsoir !
1. Si f_n(0)=0 et f limite uniforme de (f_n), que vaut f(0) (rappel : la convergence uniforme implique la convergence ponctuelle).

4. Tu montres qu'une limite éventuelle de (v_n) pour la norme \lVert.\rVert_2 n'est pas dans l'espace \mathcal{C}[0,1] (je pense que tu as "oublié" dans ton énoncé de dire que c'est l'espace des fonctions continues)
5. A mon avis la suite (v_n) ou quelque chose du même genre devrait convenir ...

Posté par
hamzafederer
re : Exercice de calcul différentiel 03-10-15 à 00:18

Citation :
1. Si f_n(0)=0 et f limite uniforme de (f_n), que vaut f(0) (rappel : la convergence uniforme implique la convergence ponctuelle).

Ahhh Oui ,c'est vrai la convergence uniforme implique la convergence simple donc f(0)=0 càd f \in F donc F est férmé
Citation :
(je pense que tu as "oublié" dans ton énoncé de dire que c'est l'espace des fonctions continues)

Oui c'est vrai cest bien l'espace des fonctions continues
Citation :
4. Tu montres qu'une limite éventuelle de (v_n) pour la norme \lVert.\rVert_2 n'est pas dans l'espace \mathcal{C}[0,1] (je pense que tu as "oublié" dans ton énoncé de dire que c'est l'espace des fonctions continues)

Oui mais comment calculer la limite de cette fonction(définie par morceaux)?!!. Est-ce que je dois calculer lim \left\Vert v_n \right\Vert _{2} quand n tend vers l'infini?(en calculant l'integrale ..etc)

Posté par
luzak
re : Exercice de calcul différentiel 03-10-15 à 09:29

Bonjour !
Tu veux en fait montrer qu'il n'y a pas de limite selon \lVert.\rVert_2. Pour cela tu supposes qu'une limite v continue existe et tu montres qu'il y a contradiction.

Par exemple tu peux établir que nécessairement v(t)=1 si t<1/2 et v(t)=0 si 1/2<t.
Supposons qu'il existe a\in[0,1/2[ tel que v(t)\neq1. Par continuité de t\mapsto(v(t)-1)^2 il existe b,c,\rho tels que 0\leqslant b<a<c<\dfrac12 et \forall t\in[b,c],\;(v(t)-1)^2>\rho>0.
Soit \varepsilon=\dfrac12\int_b^c(v(t)-1)^2\; dt>0
Puisque n\mapsto \lVert v-v_n\rVert_2 et n\mapsto 1/n convergent vers 0, il existe un entier p tel que \bigl(\lVert v-v_p\rVert_2\bigr)^2<\varepsilon et \dfrac1p<\dfrac12-c.
Mézalors \varepsilon>\int_0^1(v(t)-v_p(t))^2\;dt\geqslant\int_b^c(v(t)-v_p(t))^2\;dt. Mais v_p(t)=1 pour b\leqslant t\leqslant c donc \varepsilon>\int_b^c(v(t)-1)^2\;dt=2\varepsilon ce qui est impossible.

Et même démonstration pour t>\dfrac12

Pour 5. la suite des v_n ne convient pas mais tu peux prendre des fonctions f_n affines par morceaux telles que f_n(0)=0;\;f_n(1/2n)=1;\;f_n(1/n)=0;\;f_n(1)=0



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