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Exercice de maths vraiment complexe sur l intégration.
Voilà un exercice que nous a donné notre prof. C' est vraiment hardu.
1. Dans chacun des cas suivants, proposer une fonction f qui vérifie les propriétés données.On donnera l'expression de f.
- f est définie sur R par f (x) = aexp(2x)+bexp(x)+c, la limite de f en +∞ est +∞ et l'équation f (x) = 0 admet deux solutions, 0 et ln2.
-f est définie sur ]0;+∞[, f (2) = 4 et, pour tout x et tout réels strictement positifs, f (xy) = f (x)+f (y).
-f est une fonction polynôme de degré supérieur ou égal à 2 et la valeur moyenne de f sur [−2;2]est 0.
2.Soit g une fonction définie et dérivable, de dérivée g' continue sur [−1;1]. La courbe représentative de g est donnée ci-dessous.Les affirmations suivantes sont-elles cohérentes avec le schéma :
le graphique est là
a.
(de 1 à 0)g'(x)dx = 0?
b.(1 à 0)g(x)dx > −1/2?
Merci de votre aide
Salut
Pour le 1), il suffit de traduire ce qui t'ai donné, tu sais que a>0 car la lim de f en l'infini est l'infini.
Ensuite f(0)=0 donc a+b+c=0
f(ln(2))=0 donc 4a+2b+c=0
Ainsi tu peux obtenir 3a+b=0 donc b=-3a
ce qui te donne en remplacant dans la première equation, a-3a+c=0 donc c=2a
Ainsi f(x)=a(exp(2x)-3exp(x)+2) avec a>0
il reste le cas a=0 alors b>0 et b+c=0 et 2b+c=0 ce qui donne b=0 ce qui n'est pas possible puisque limite quand x tend vers l'infini de f(x) est égal à l'infini
Pour la deuxième tu sais que f(2)=4 et que f(xy)=f(x)+f(y)
Ainsi f(2*1)=f(2)+f(1) donc f(1)=0
Ainsi tu peux en déduire que f(x*1/x)=f(1)=f(x)+f(1/x)
Donc pour tout x réel f(x)=-f(1/x)
On a par exemple une fonction comme ln(x) qui vérifie ln(1)=0 et ln(1/x)=-ln(x) mais ln(2) n'est pas égal à 4.Il faut donc
poser f(x)=(4/ln(2))ln(x) pour vérifier ce qi t'es demandé.
déjà merci de tes réponses si rapides mais sinon est ce que tu as une idée pour le reste parce que je ne vois pas trop comment traduire les équations et inéquations afin de valider ou non les hypothèses.
Re
pour le 3 tu es sur que c'est un plynôme de degré supérieur ou égal à2, car il y en a une infinité qui vérifie
Il suffit de prendre n'importe quel polynôme qui sécrit comme combinaison linéaire de monômes de degré impair
Pour le 2)
Donc si l'intégrale vaut 0 cela équivaut à ce que g(1)=g(0) ce qui est bien compatible avec le schéma.
Sinon on a sur le schéma que g<0 donc
On peut observer que sur le schéma g(x)>-1/2 donc
Ainsi le schéma est bien compatible
j' ai vérifié et je peux confirmer que l' énoncé est :
- f est une fonction polynôme de degré supérieur ou égal à 2 et la valeur moyenne de f sur [−2;2]est 0.
Bon tu as donc déjà tous les polynômes de la forme suivante
avec
nuls sauf pour un nombre fini de k
Mais un polynôme comme , vérifie aussi cela, il me semble difficile de déterminer l'ensemble des polynômes de degré supérieur ou égal à 2 qui vérifie cela, ils n'ont pas une formule particulière il faut que si
On doit alors avoir
Donc
Ce qui te donne
Et au final
Ainsi tu as une relation sur les coefficients pairs de P parcontre les coeff impair sont quelconque
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