Un petit lien sur un topic tout récent (page 29):

Amusette (algèbre linéaire)

Bonne chance!

Ceci dit, j'aimerais bien moi aussi une explication avec Vandermonde. Ca m'a l'air plus abordable que les Newton de camélia, dont je n'ai jamais entendu parler...

oui merci, mais j'aurais bien aimé comprendre la méthode avec Vandermonde

Bonjour à tous

Jeanseb > moi non plus je ne connaissais pas non plus la méthode avec Newton. Je ne connais la démo uniquement avec Vandermonde.

Notons q le nombre de valeurs propres et la matrice d'ordre q définie par :



A est clairement une matrice inversible car les sont distincts (Vandermonde).

posons X le vecteur colonne dont la ième cordonnée est

Alors, les égalités sur les traces donnent le sytème :



Or A est inversible donc X=0

Or pour tout i (car ils sont au moins égaux à 1 étant donné que ce sont des multiplicités)
donc pour tout i

Kaiser

bonjour merci pour la démonstration (je n'(ai juste pas compris l'histoire de l'égalité des traces donne AX = 0)

Merci Kaiser...

... mais je n'ai rien compris!

- pourquoi les li seraient-ils distincts?

- moi je voyais le système proposé:

l1+l2 ...+ ln = 0
l1^2 + l2^2 ....+ ln^2 = 0

l1^n+ l2^n ...+ln^n =0

avec en plus les equations avec k>n

comme un système nxn dont on a 2 solutions: (0,.....0) et (1, ......1)

En examinant le determinant du système, il est égal à :

l1.l2. ....ln . det de Vandermonde.

voila ou j'en suis.

Peux-tu me guider (...j'ai un petit oral sympa après-demain...).

Merci.

Bonjour à tous
(J'ai trouvé un truc que kaiser ne connaissait pas! )
Moi je ne connais pas la démonstration avec Vandermonde. Quant à la mienne, (enfin, celle de Newton) elle est une application immédiate du fait que les fonctions symétriques de degré au plus n forment une base de l'espace des polynômes symétriques de degré au plus n. (Tout au moins dans le cas d'un corps de caractéristique 0).

PS: Fonctions symétriques:

lol je n'y comprends toujours rien

Bonsoir à tous

Jeanseb > on ne considère que les valeurs propres distinctes de la matrice, d'où l'introduction du nombre q de valeurs propres.

Ton système est bien celui que je voyais mais je fais intervenir la multiplicité des valeurs propres.

Du coup, on a le système suivant :

pour i variant entre 1 et q.
En posant , ce système devient :



ce qui donne bien l'égalité AX=0

A est alors une "vraie" matrice de Vandermonde et qui est inversible, d'où X=0 et ainsi que la conclusion.

Camélia > tu sais, il y a plein de choses que je ne connais pas ou des choses que je connais mais que je ne maitrise pas (par exemple, si tu commences à me parler de produit tensoriel, je hurle ! )

Kaiser

Merci Kaiser

Merci Camélia pour ton dernier post sur un autre topic

Kaiser, ne serait-ce pas, à la place de



quelque chose comme ?

En plus, je ne comprends pas pourquoi tu peux éliminer des valeurs propres parce qu'elles sont multiples: dans ce cas, la somme des puissances des valeurs propres (c a d la trace) n'est plus nulle.

Il me semble...

Bonjour je me permets
Il n'élimine pas les valeurs propres parce qu'elles sont multiples
Je te cite:
tu as trouvé ceci:
l1+l2 ...+ ln = 0
l1^2 + l2^2 ....+ ln^2 = 0

l1^n+ l2^n ...+ln^n =0

Tu dis aussi
En examinant le determinant du système, il est égal à :

l1.l2. ....ln . det de Vandermonde.
Ce n'est pas tout à fait un vandermond en effet,
il se peut que les valeurs propres ne soient pas distinctes... on les "rassemble" d'où l'utilisation de la multiplicité et après on obtient comme a dit kaiser un vrai vandermond etc...

non ce n'est pas ce que je comprends vu qu'on ne considère que les valeurs propres distinctes on introduit alors la multiplicité d'où la transformation du système on rassemble les vp semblables
par ex si L1+L2+L3+L4=0 et que L2+L3 l'égalité devient L1+2L2+L4=0...

sinon comme tu le fais remarquer ce serait faux

il faut lire L2=L3

Bonjour à tous

oui, c'est bien ce que je voulais dire un1. La somme est la même, je ne fais qu'introduire la multiplicité des valeurs propres.

Kaiser