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Exercice dérivées/factorielles
Bonsoir,
J'ai une fois de plus, un exercice de maths sur lequel je bloque, un peu d'aide serait la bienvenue!
Soit la fonction f définie par :
f(x)=1/(2+x) Montrer que pour tout réel x différent de -2, on a pour n>=1 :
f^(n)(x)= (-1)^n * n! / (2+x)^(n+1)
où f^n est la niéme dérivée de la fonction f.
La dérivée f'(x) serait : -1/(2+x)². Par contre, calculer la dérivée niéme, c'est un peu plus compliqué. J'imagine qu'on peut arriver à prouver cette formule avec la récurrence, mais comment faire avec les factorielles? C'est surtout ça qui me gêne! Je sais bien ce qu'est une factorielle, par exemple n!=n*(n-1)*(n-2)...*2*1, mais on n'a jamais fait d'exercice d'application.
Merci d'avance pour vos réponses!
Bonsoir,
ta question marche avec la récurrence,
et y'a aucun probleme avec le factoriel , ta variable c'est x, donc le n! c'est une constante quand tu dérives ta fonction f.
Ah d'accord, merci bien.
Donc je calcule f^(n+1)(x) pour montrer l'hérédité de la proposition Pn, telle que Pn+1 : f^(n+1)(x)= (-1)^(n+1) * n! / (2+x)^(n+2), mais pour montrer cela il faut donc que je calcule f^(n+1), mais à partir de quoi? J'avoue être un peu perdue.
re,
tu vas mettre:
*pour n=0 et tu vérifié ta propriété .
*Soit n appartenant à |N :
suppose que tu as l'expression de f^(n)
(c'est l'expression q tu veux montrer).
après tu la dérive une fois, et tu fais tes calculs.
Ah d'accord, je comprends, je suis bête de ne pas y avoir pensé! Merci!
Mais puisque vous me dîtes que n! est considérées comme une constante, sa dérivée est nulle normalement non?
sa dérivée est tu nule s'il est seul. mais s'il est multiplié avec un terme dépendant de x tu ne vas pas annuler le tt comme meme.
C'est bien ce que je me disais, ça paraissait bizarre! Mais bon, comme dans mon cours pour k constante, f'(k)=0, je me suis quand même posée la question!
Donc j'utilise la formule f(x)=u/v et f'(x)= (u'v+v'u)/v² pour résoudre.
Soit : ( -1^(n-1)n*(2+x)^(n+1) - (n(2+x)^n * (-1)^n * n!) ) / (2+x)^(2n+2)
J'ai un peu du mal avec le calcul de puissances, donc ou j'ai fait une erreur de calcul, ou bien je ne comprends tout simplement pas, mais je devrais pouvoir simplifier là non? Et arriver à la formule que je cherche?
Merci pour vos réponses en tout cas!
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