Bonjour,
je suis tombé sur cet exercice qui est bien délicat, et je demande votre aide pour pouvoir le terminer.
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on fixe un nombre premier p et un entier r >= 1. ´Etant donn´es
deux entiers k > 1 et 0 <= s < r, on note :
Uk(s) = {x^k | x 2 (Z/p^(r−s)Z)×} et Bk = {xk | x 2 Z/p^rZ} .
a) Montrer que Uk(s) est un sous-groupe du groupe multiplicatif U1(s) pour tout
k > 1 et tout 0<=s < r, et que (U2(s) inter U3(s)) = U6(s).

b) Soit x un ´el´ement non nul de l'anneau B1. Montrer qu'il existe un unique entier
0 <= s < r, et un entier u appartenant Z premier `a p, de telle sorte que x soit ´egal `a p^s*u mod. p^r.

c) Montrer que le u de la question 2.b) est unique modulo p^(r−s)

d) En d´eduire que x apprtient Bk si et seulement si s appartient kZ et u mod. p^(r−s) appartient Uk(s).

e)Montrer que (B2 inter B3) = B6

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en fait je réussis des questions sauf un petit doute sur le fait de montrer que lintersection de U2(s) et U3(s) = U6(s), (question a). J'ai pas réussi à faire les question d) et e) non plus.Je voudrais que vous m'aidez.
Merci d'avance.