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Niveau seconde
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Exercice droite d'Euler

Posté par
Cassendra2714
13-04-19 à 13:00

Bonjour, je suis en seconde et je bloque à partir de la question 4 de l'exercice suivant :

On considère les points A(3;56), B(45;50) et C(21;2).
La figure sera complétée au fur et à mesure de l'exercice.
Les coordonnées de tous les points demandés sont entières !

1)Placer ces points dans un repère.
2) Calculer les coordonnées des points A', B' et C' , milieux respectifs des segments [BC], [AC] et [AB]
3a) Déterminer une équation de chacune des droites (AA') et (CC').
3b) En déduire les coordonnées du point G des droites (AA') et (CC')
4a) Montrer que l'appartenance d'un point M à la médiatrice de [AB] équivaut à AM2 = BM2
4b) Montrer qu'une équation de la médiatrice de [AB] est : y= 7x-115
4c) Tracer cette médiatrice.
4d) Montrer, de même, qu'une équation de la médiatrice de [BC] est y=-0,5x+42,5
4e) Calculer les coordonnées du point O, centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
4f) Montrer que le rayon de ce cercle est 30.
5a) Montrer que le hauteur issue de C est parallèle à la médiatrice du segment [AB].
5b) Déterminer une équation de cette hauteur.
5c) Déterminer, de même, une équation de la hauteur issu de A.
5d)Calculer les coordonnées du point d'intersection H des hauteurs du triangle ABC.
6) Montrer que les points G,H et O sont alignés. Ils forment la droite d'Euler du triangle.
7) Montrer que OH=30G.

Voici mes réponses pour les premières questions :

2) A' (33 ; 26), B' (12 ; 29) et C' (24 ; 53).
3a) La droite AA' a pour équation y= - x+59 et la droite CC' a pour équation y= 17x-355
3b) Les coordonnées du point G sont (23 ; 36).

Pour la question 4, je ne sais pas quoi faire. Pouvez vous m'aider, s'il vous plaît ? Je vous remercie d'avance.

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice droite d'Euler 13-04-19 à 13:10

bonjour
je n'ai pas vérifié tes premiers résultats pour le moment
4) à quelle condition un point M appartient-il à la médiatrice du segment [AB] ?

Posté par
hekla
re : Exercice droite d'Euler 13-04-19 à 13:15

Bonjour

montrez par exemple que MA^2=MC'^2+C'A^2 \quad MB^=MC'^2+C'B^2

C' étant le milieu de [AB]

Posté par
Cassendra2714
re : Exercice droite d'Euler 13-04-19 à 13:18

Le point M appartient à la médiatrice du segment [AB] si il est à la même distance de A et de B  ?

Posté par
hekla
re : Exercice droite d'Euler 13-04-19 à 13:22

utilisation de GeoGebra

Exercice droite d\'EulerExercice droite d\'Euler

Posté par
hekla
re : Exercice droite d'Euler 13-04-19 à 13:25

oui propriété caractéristique de la médiatrice d'un segment
ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment


j'ai l'impression qu'on vous demande de le redémontrer

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice droite d'Euler 13-04-19 à 13:31

hekla @ 13-04-2019 à 13:25

oui propriété caractéristique de la médiatrice d'un segment
ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment


j'ai l'impression qu'on vous demande de le redémontrer


hekla, je ne le pense pas
on leur fait penser à ça pour arriver aux carrés et poursuivre l'exercice

Posté par
hekla
re : Exercice droite d'Euler 13-04-19 à 13:35

Bonjour malou

le début de la phrase est bien « montrer que »

on aurait pu dire  « on rappelle que »

Posté par
Cassendra2714
re : Exercice droite d'Euler 13-04-19 à 13:53

MA2 =MC' 2 + C'A 2
(3-x)2 + (56 - y)2 = (24-x)2 + (53-y)2 + (3-24)2 +(56-53)2    ?

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice droite d'Euler 13-04-19 à 13:57

oui, montrer que.....les carrés sont égaux !! ce qu'ils n'apprennent pas en 6e !
pour moi, je n'ai aucun doute

Posté par
hekla
re : Exercice droite d'Euler 13-04-19 à 14:01

pour la démontration beaucoup plus simple

Théorme de Pythagore  triangles MC'A MC' B

MA^2=MC'^2+C'A^2= MC'^2+C'B^2=MB^2

[ MC'] est commun aux deux triangles et C' est le milieu de[ AB]


pour revenir au problème

MA^2= (3-x)^2+(56-y)^2

MB^2=

puis écrivez l'égalité  les x^2 et y^2 s'éliminent

Posté par
Cassendra2714
re : Exercice droite d'Euler 13-04-19 à 14:08

MB2 = (45-x)2 + (56-y)2

Posté par
Cassendra2714
re : Exercice droite d'Euler 13-04-19 à 14:11

MB2 = (45-x)2 + (50-y)2

(Je suis désolée pour la faute)

Posté par
hekla
re : Exercice droite d'Euler 13-04-19 à 14:14

pas vu

écrivez MA^2=MB^2  et simplifiez l'expression
que vous pourrez mettre sous la forme y= ax+b

Posté par
Cassendra2714
re : Exercice droite d'Euler 13-04-19 à 14:24

MA2 = MB2
(3-x)2 + (56-y)2 = (45-x)2 + (50-y)2
(9-6x+x2) + (3136-112y + y2) = (2025-90x+x2) + (2500-100y+y2)
-2016 + 84x = -636 + 12y
12y +84x = 1380

Posté par
hekla
re : Exercice droite d'Euler 13-04-19 à 14:50

 -12y=(-90+6)x+4525-3145 \quad -12y=-84x+1380

en divisant par -12:\quad  y=7x-115

pourquoi passez-vous de l'un à l'autre membre sans raison

9-6x+x^2+3136-112y+y^2=2025-90x+x^2+2500-100y+y^2

y d'un côté  le reste de l'autre  en effectuant au passage les additions rapides

-112y+100y= -90x+6x-3145+4525

-12y=-84x+1380

d'où le résultat  y=7x-115

  



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