Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Exercice en mathématiques
Bonjour, je souhaiterais avoir de l'aide pour cet exercice en mathématiques.
Voici l'énoncé :
Une tasse de thé, chauffée à 60 °C, est laissée à refroidir dans une pièce dont la température est
supposée constante, égale à 20 °C.
On note theta(t) la température (en °C) de la tasse à l'instant t (en minute). Ainsi theta(0) = 60.
Selon la loi de Newton, la vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart de
température entre la tasse de thé et le milieu environnant. Ainsi : (dtheta/dt) *(t) = k (theta(t)- 20).
Une étude expérimentale a permis d'établir que, dans cette situation, on a : k =-0,2.
Partie A
1. Démontrer que la fonction theta est solution de l'équation différentielle
(E) : y' = --0,2y+ 4.
2. Déterminer l'ensemble des fonctions solutions de l'équation différentielle (E).
3. En utilisant la condition initiale theta(0)= 60, déterminer, en justifiant vos calculs, l'expression de theta en fonction de t.
Partie B
On admet que la température de la tasse de thé est modélisée par : theta(t) = 40e^(-0,2t) + 20
avec « t » appartenant à [ 0 ; + l'infini [.
1.a. Calculer theta'(t) pour tout t appartenant à [0; + l'infini [.
b. Déterminer le signe de theta'(t) sur l'intervalle [0; +l'infini [. Justifier la réponse.
c. Ce résultat était-il prévisible ? Expliquer.
2.a. Calculer lim theta(t) sur n → + l'infini.
b. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
c. Ce résultat était-il prévisible ? Expliquer.
3. Compléter le tableau de variations de theta sur l'intervalle [0 ; + l'inifni[.
Partie C
On rappelle que la valeur moyenne u de la fonction theta sur l'intervalle [0;5] est donnée par:
mu = 1/5 * intervalle 0 à 5 * theta(t) dt.
1. Déterminer une primitive de la fonction : t → e^(-0,2t)
2. En déduire une primitive T de la fonction : theta : t → 40e^(-0,2t) +20.
3.a. Calculer : µ = 1/5 * intervalle de 0 à 5 * theta (t) dt.
On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée arrondie à 0,1 °C.
b. Interpréter le résultat.
Voici ce que j'ai déjà fais, mais je ne suis pas sûr de mes réponses... Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Partie A : je n'ai rien fais car je n'ai pas compris.
Partie B :
1a ) theta (t) = 40e^(-0,2t) + 20 avec t appartenant à [0;+l'infini[
Theta'(t) = 40e^(-0,2t) + 20
= 40e^(-0,2t)
soit u (v(t)) avec u(t) = 40e^t u'(t) = 40e^t v(t) = -0,2t v'(t) = -0,2
ainsi u'(v(t)) = 40e^(-0,2t)
(u(v(t))' = u'(v(t)) et v'(t)
= 40 * e^(-0,2t) -0,2
( dérivé de 40e^(-0,2t) ) + ( dérivé de 20 )
= 40e^(-0,2t) * (-0,2) + 0
Ainsi la dérivé de 40e^(-0,2t) + 20 est : 40e^(-0,2t) * (-0,2)
en simplifiant : 40e^(-0,2t) * (-0,2)
= -8e^(-0,2t)
La partie C non plus je ne trouve pas...
Merci de votre aide par avance
Ainsi : (dtheta/dt) *(t) = k (theta(t)- 20).
Une étude expérimentale a permis d'établir que, dans cette situation, on a : k =-0,2.
donc tu proposes quoi pour la A1 ?
(et ce que tu as fait au B est à revoir sérieusement... on verra ensuite !)
Je ne vois pas comment faire à part : y' = -0.2 y +4
soit y' = -0.2 y + 4 <=> y' +0.2y = 4
Les fonctions solutions de y' = -0.2 y + 4 sont définis par x -> Ke^(-0.2x) - 4/-0.2 avec K appartenant à R.
Est-ce que c'est ça ?
on se demande si tu as lu l'énoncé 
énoncé :
'(t) = k 
((t) - 20)
et
k = - 0,2
question :
montrer que la fonction est solution de l'équation différentielle y' = - 0,2 y + 4
...
Ah ok, donc vous voulez dire que pour le démontrer, vu que theta'(t) = k * ( theta(t) - 20)
et que y'=-0.2y + 4
c'est que "-0.2" c'est le coefficient et que 4 c'est l'écart de température ?
Tout simplement je ne vois pas comment le démontrer ..
faut faire une petit effort là quand même plutôt que de causer
on te dit que k = - 0,2 et ça ne te vient pas à l'esprit de remplacer dans la donnée de l'énoncé ?????
Donc si je comprends bien, j'ai juste à mettre que (E) : y' = -0.2y + 4 car la fonction theta est = à -0.2 x ( theta(t) - 20 ) et que ( theta(t) - 20) c'est la différence de température ?
incompréhensible
une démonstration consiste à partir des données de l'énoncé pour aboutir à la conclusion qui fait l'objet de la question
Donc A1 :
On sait que la fonction theta est solution de l'équation différentielle (E) : y' = -0.2 y + 4 car theta'(t) = -0.2 x ( theta(t) -20 )
pour la A2, j'aurais fais comme je fais : y' = -0.2 y +4
soit y' = -0.2 y + 4 <=> y' +0.2y = 4
Les fonctions solutions de y' = -0.2 y + 4 sont définis par x -> Ke^(-0.2x) - 4/-0.2 avec K appartenant à R.
De plus theta est solution de y' = -0.2 y + 4 donc theta (x) = Ke^(-0.2x) -20
sachant que theta(0) = 60 donc theta(0) = Ke^(-0.2*0) -20 = K - 20 = 60 donc K est = à 80.
Donc on a theta'(t) = -0.2 x ( theta(t) -20 ) ?
tu sais pas développer ? faudra revoir les cours de collège !
Donc A1 :
On sait que la fonction theta est solution de l'équation différentielle (E) : y' = -0.2 y + 4 car theta'(t) = -0.2 x ( theta(t) -20 ) soit en développant, theta'(t) = -0.2 * theta(t) + 0.2 * 20 = -0.2 theta(t) +4 ce qui est égale à l'équation différentielle (E) : y' = -0.2 y + 4
non ! on ne sait pas ! on doit le démontrer !
ce qu'on sait c'est que
T'(t) = - 0,2 (T - 20)
c'est de ça qu'on doit partir
theta'(t) = -0.2 x ( theta(t) -20 ) soit theta'(t) = -0.2 * theta(t) + 0.2 * 20 = -0.2 theta(t) +4 ce qui est égale à l'équation différentielle (E) : y' = -0.2 y + 4
enfin
mais mal rédigé !
ce n'est pas "égal" à l'équation différentielle...
T' = - 0,2 T + 4
donc T est solution de l'équation différentielle
y' = - 0,2 y + 4
maintenant finis correctement A2 et A3
A2 : ok... mais la variable est t
la solution générale de l'équation est du type : y(t) = K e- 0,2 t + 20
A3 : ?
désolé de vous avoir fait attendre, j'étais aller manger ...
donc pour la A2, j'ai fais :
Tout d'abord, (E) : y' = -0.2 y +4
a = -0.2 y et b=4
soit y' = -0.2y + 4 ou y' +0.2y = 4
les fonctions solutions de y' = -0.2y + 4 sont définis par t -> Ke^(-0.2t) - 4/(-0.2) avec K appartenant à R.
Donc theta est solution de y' = -0.2y +4 donc theta(t) = Ke^(-0.2t) +20
de plus theta(0) = 60 donc theta (0) = Ke^(-0.2 * 0 ) +20 = K + 20 = 60. Alors K = 40.
il faudrait lire un peu plus attentivement les questions posées
donc pour la A2, j'ai fais :
Tout d'abord, (E) : y' = -0.2 y +4
a = -0.2 y et b=4
soit y' = -0.2y + 4 ou y' +0.2y = 4
les fonctions solutions de y' = -0.2y + 4 sont définis par t -> Ke^(-0.2t) - 4/(-0.2) avec K appartenant à R. ça c'est bien la réponse à la question A2
et ensuite c'est ce qu'on te demande en A3
Donc theta est solution de y' = -0.2y +4 donc theta(t) = Ke^(-0.2t) +20
de plus theta(0) = 60 donc theta (0) = Ke^(-0.2 * 0 ) +20 = K + 20 = 60. Alors K = 40. et donc theta(t) = ...?
Pour la B1)
a) soit theta une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [ 0;+l'infini[. On note theta' la dérivée de la fonction theta.
theta(t) = 40e^(-0.2t)+20 -> en utilisant la fonction (e^kx) = (ke^kx)
Donc theta' (t) = -0.2 * 40e^(-0.2t) +20 = -8e^(-0.2t)
On supprime le "20" car la dérivée de "20" c'est 0.
Est-ce que c'est ça pour cette question ?
faut arrêter d'écrire qu'une fonction est égale à sa dérivée
(e^kx) = (ke^kx)
certainement pas ... sauf si k=1 !
theta' (t) = -0.2 * 40e^(-0.2t) +20 = -8e^(-0.2t)
non plus ! chaque égalité est fausse (2 erreurs)
On supprime le "20"
on est pas la mafia
Alors dans ce cas là, si cela ne vous dérange pas, je n'arrive pas du tout à comprendre cet exercice, ça fais maintenant 3 semaines que je suis dessus, et je ne comprends toujours pas, je ne suis pas mathématicienne. Je vous prierais de bien vouloir me contacter par message et de m'envoyer comment faire pour rédiger cela.
ce n'est pas l'exercice qui te pose problème... c'est la syntaxe des écritures mathématiques rigoureuses !
la résolution d'un calcul n'est pas une histoire de blabla vaseux...
pour la n-ième fois, j'appelle T ta fonction car y'en a marre de "théta"... tu retranscriras en recopiant !
T(t) = 40 e-0,2 t + 20
T'(t) = 40 (-0,2) e-0,2 t + 0 = - 8 e-0,2 t
épicétou !
B1b ) la fonction dérivée T' est dérivable sur l'intervalle [0;+[
T' = -8e^(-0.2t)
pour définir son signe sur l'intervalle [0;+[,
on fait -8e^(-0.2t) < 0 car -8 < 0
donc je n'arrive jamais à faire cela avec les exponentielles quand il y a une valeur à la place du x.
B1b ) la fonction dérivée T' est dérivable sur l'intervalle [0;+
T' = -8e^(-0.2t)
pour définir son signe sur l'intervalle [0;+
on fait -8e^(-0.2t) < 0 car -8 < 0
donc je n'arrive jamais à faire cela avec les exponentielles quand il y a une valeur à la place du x. (??????)
faudrait apprendre son cours plus sérieusement !
une exponentielle est toujours positive strictement
etruc > 0 pour toute valeur de truc
bon allez, comme tu ne lis pas mes messages, j'abandonne... bonne soirée.
(et revois ton énoncé car c'est truffé de choses incompréhensibles...)
Calculer lim theta(t) sur n → + l'infini.
mu = 1/5 * intervalle 0 à 5 * theta(t) dt.
ah mince je n'ai pas rechangé.. je l'ai changé sur ma feuille mais pas sur les messages
OK comme vous voulez, désolé de vous avoir fais perdre du temps, sur un exercice que je ne comprends pas même en ayant le cours sous les yeux ...
Bonne soirée à vous et merci pour votre aide
Annuler
connectez vous