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Exercice hérédité
Bonjour voila j'ai un exo a faire pour dans deux jours qui porte sur l'hérédité et je bloque pour trouver la solution, voici l'énnoncé
Soit Pn la proposition "11 divise 10^n-(-1)^n"
Démontrer que si Pn est vrai alors Pn+1 aussi
Ce que j'ai fait:
J'ai fait montré que sa marché pour P(0)
Si n=0, 10^0-(-1)^0=0
Or 11 divise 0 puisque 11*0=0
On a prouvé P(0)
Hérédité
On suppose que P(n) est vraie pour un certain n E N. On montre dans ce que cas P(n+1) est vraie
11 divise 10^n-(-1)^n
Donc 10^n-(-1)^n=11*k
10^n+1= 10^n*10
(-1)^n+1=(-1)^n*(-1)
Ensuite j'ai fait
10^n-(-1)^n=11*k
(10^n-(-1)^n)*10=11*k
(10^n+1-(-1)^n*10)*(-1)=11*k
10^n+1*(-1)-(-1)^n+1*10=11*k
Après cela je vois pas quoi faire pour finir, j'espere qu'une ame charitable viendra m'aider. Merci d'avance
salut
10^n - (-1)^n = 11k supposée vraie
en multipliant par 10 chaque membre il vient
10^(n+1) - 10.(-1)^n = 11.(10k)
10^(n+1) - (11-1).(-1)^n = 11.(10k)
10^(n+1) - (11-1).(-1)^n = 11.(10k)
10^(n+1) -(11.(-1)^n +(-1)^(n+1) = 11.(10k)
10^(n+1) -(-1)^(n+1) = 11.(10k)+11.(-1)^n
10^(n+1) -(-1)^(n+1) = 11.[(10k)+(-1)^n]
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